Номер 641, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

641. Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1) $2^{x^2+3x} = 2^2$ и $x^2+3x=2$;

2) $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ и $x^2+3x=2$;

3) $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3]{2-x}$ и $x+18=2-x$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней полностью совпадают. Для проверки равносильности в данных примерах проанализируем область допустимых значений (ОДЗ) и способы перехода от одного уравнения к другому.

1) $2^{x^2+3x} = 2^2$ и $x^2+3x=2$

Показательная функция $f(t) = a^t$ (где $a > 0, a \neq 1$) является монотонной на всей числовой прямой. Это означает, что равенство степеней с одинаковыми основаниями равносильно равенству их показателей без каких-либо дополнительных условий. Переход от первого уравнения ко второму сохраняет все корни и не вносит новых.

Ответ: Да, уравнения равносильны.

2) $\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{2}$ и $x^2+3x=2$

При возведении обеих частей уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ в квадрат мы получаем уравнение $f(x) = g(x)$. Однако важно помнить про ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Во втором уравнении $x^2+3x$ приравнено к $2$, а число $2$ всегда больше нуля. Это автоматически гарантирует, что условие $x^2+3x \ge 0$ выполняется для всех корней. Следовательно, посторонние корни не появляются, и корни не теряются.

Ответ: Да, уравнения равносильны.

3) $\sqrt[3]{x+18} = \sqrt[3]{2-x}$ и $x+18=2-x$

Функция корня нечетной степени $f(t) = \sqrt[3]{t}$ определена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ и является строго возрастающей. Возведение в нечетную степень (в данном случае в куб) всегда является равносильным преобразованием и не требует проверки ОДЗ или дополнительных условий на знаки выражений.

Ответ: Да, уравнения равносильны.