Номер 640, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава V. Степенная функция. Упражнения к главе V - номер 640, страница 214.

Условие.

640. Изобразить график функции, обратной к функции, график которой изображён на рисунке 90 (а; б).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи необходимо иметь изображения графиков из рисунка 90 (а; б), которые не были предоставлены. Однако, можно изложить общий метод построения графика обратной функции по графику исходной функции.

График функции $y=f^{-1}(x)$, обратной к функции $y=f(x)$, можно получить, отразив график функции $y=f(x)$ симметрично относительно прямой $y=x$.

а)

Рассмотрим теоретическое обоснование этого метода. Пусть дана функция $y=f(x)$. По определению обратной функции $x=f^{-1}(y)$. Чтобы получить функцию в привычном виде, где аргумент обозначается через $x$, а функция — через $y$, мы меняем переменные местами: $y=f^{-1}(x)$.

Ключевым моментом является связь между точками на графиках исходной и обратной функций. Если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, то это означает, что выполняется равенство $b=f(a)$.

Из этого равенства, согласно определению обратной функции, следует, что $a=f^{-1}(b)$. Это означает, что точка с координатами $(b, a)$ принадлежит графику функции $y=f^{-1}(x)$ (после переобозначения переменных $x$ и $y$).

Таким образом, каждой точке $(a, b)$ на графике $y=f(x)$ соответствует точка $(b, a)$ на графике $y=f^{-1}(x)$.

Геометрически преобразование, которое переводит точку $(a, b)$ в точку $(b, a)$, является осевой симметрией относительно прямой, заданной уравнением $y=x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Следовательно, весь график обратной функции $y=f^{-1}(x)$ является зеркальным отражением графика исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.

Ответ: График обратной функции $y=f^{-1}(x)$ получается симметричным отражением графика исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.

б)

На основе вышеизложенного можно сформулировать практический алгоритм для построения графика обратной функции по известному графику исходной функции.

1. В той же системе координат, где изображен график функции $y=f(x)$, постройте вспомогательную прямую $y=x$.
2. Выберите на графике исходной функции $y=f(x)$ несколько характерных точек. Это могут быть точки пересечения с осями координат, точки максимума и минимума, точки перегиба или просто любые удобные точки с целыми координатами. Обозначим их координаты как $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$.
3. Для каждой выбранной точки $(x_k, y_k)$ найдите координаты соответствующей ей точки на графике обратной функции. Для этого нужно поменять местами абсциссу и ординату: $(y_k, x_k)$.
4. Отметьте полученные точки $(y_1, x_1), (y_2, x_2), \dots, (y_n, x_n)$ на координатной плоскости.
5. Соедините отмеченные точки плавной линией, стараясь воспроизвести форму исходного графика в зеркальном отражении. Если исходный график состоял из прямых отрезков, то и новый график будет состоять из симметричных им отрезков.
6. Если у исходной функции были асимптоты, их также необходимо отразить. Горизонтальная асимптота $y=c$ для $f(x)$ превратится в вертикальную асимптоту $x=c$ для $f^{-1}(x)$. Вертикальная асимптота $x=d$ для $f(x)$ превратится в горизонтальную асимптоту $y=d$ для $f^{-1}(x)$.

Применив этот алгоритм к графикам на рисунке 90 (а) и 90 (б), можно построить графики соответствующих им обратных функций.

Ответ: Для построения графика обратной функции необходимо выполнить симметричное отражение исходного графика относительно прямой $y=x$, используя пошаговый алгоритм, включающий нахождение симметричных ключевых точек.