Номер 637, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

637. Решить графически уравнение:

1) $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1;$

2) $x^{-2} = 2x^2 - 1.$

1) $\sqrt[3]{x} = x^2 + x - 1$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^2 + x - 1$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это функция кубического корня. График проходит через начало координат, расположен в I и III координатных четвертях. Он является возрастающим на всей области определения и симметричен относительно начала координат. Некоторые контрольные точки для построения: $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

2. Построим график функции $y = x^2 + x - 1$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$
Ордината вершины: $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) - 1 = 0.25 - 0.5 - 1 = -1.25$
Вершина находится в точке $(-0.5, -1.25)$.

Найдем несколько точек для построения параболы:
при $x = -2$, $y = (-2)^2 + (-2) - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$;
при $x = -1$, $y = (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$;
при $x = 0$, $y = 0^2 + 0 - 1 = -1$;
при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 - 1 = 1$.

Совместив графики на одной координатной плоскости, мы ищем их точки пересечения. Из найденных нами контрольных точек видно, что графики имеют общие точки.

Первая точка пересечения: $(-1, -1)$.
Проверка: подставим $x=-1$ в исходное уравнение. Левая часть: $\sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть: $(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$. Равенство $-1 = -1$ верно.

Вторая точка пересечения: $(1, 1)$.
Проверка: подставим $x=1$ в исходное уравнение. Левая часть: $\sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть: $1^2 + 1 - 1 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых $x = -1$ и $x = 1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

2) $x^{-2} = 2x^2 - 1$

Для решения этого уравнения графически представим его в виде равенства двух функций $y = x^{-2}$ и $y = 2x^2 - 1$ и построим их графики в одной системе координат. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков.

1. Построим график функции $y = x^{-2}$, что то же самое, что и $y = \frac{1}{x^2}$. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Все значения функции положительны ($y > 0$). Ось OX является горизонтальной асимптотой, а ось OY — вертикальной асимптотой. Контрольные точки: $(\pm 1, 1)$, $(\pm 2, 1/4)$, $(\pm 0.5, 4)$.

2. Построим график функции $y = 2x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$). Эта функция также является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - 1 = 2x^2 - 1 = y(x)$. Ее график тоже симметричен относительно оси OY. Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$
Ордината вершины: $y_0 = 2(0)^2 - 1 = -1$
Вершина находится в точке $(0, -1)$. Контрольные точки: $(\pm 1, 1)$, $(\pm 2, 7)$, $(0, -1)$.

Построим оба графика. Из-за симметрии обоих графиков относительно оси OY, достаточно найти точки пересечения для $x > 0$ и затем отобразить их симметрично. Сравнивая контрольные точки обеих функций, мы видим общую точку $(1, 1)$. Проверим для $x=1$:
Левая часть: $1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$.
Правая часть: $2(1)^2 - 1=1$.
Равенство $1 = 1$ верно, следовательно, $x=1$ является решением.

Так как оба графика симметричны относительно оси OY, то точка с абсциссой $x = -1$ также будет точкой пересечения. Проверим для $x=-1$:
Левая часть: $(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.
Правая часть: $2(-1)^2 - 1=1$.
Равенство $1 = 1$ верно, следовательно, $x=-1$ также является решением.

Графики пересекаются в двух точках: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Других точек пересечения нет.

Ответ: $x = -1, x = 1$.