Номер 636, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

636. На одном рисунке построить графики функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Сравнить значения этих функций при $x = 0; 0,5;$ 1; $\frac{3}{2}$; 2; 3; 4; 5.

1. Построение графиков функций

Для построения графиков функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на одной координатной плоскости, проанализируем каждую функцию.

Функция $y = x^2$: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), область значений — $y \geq 0$.

Функция $y = \sqrt{x}$: Это степенная функция, графиком которой является верхняя ветвь параболы, симметричной оси OY. Область определения этой функции — $x \geq 0$, область значений — $y \geq 0$.

При построении на одном рисунке видно, что графики этих двух функций пересекаются в двух точках. Найдем их, решив уравнение $x^2 = \sqrt{x}$:

$x^4 = x$ (при условии $x \geq 0$)

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Соответствующие значения $y$ равны $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$. Таким образом, точки пересечения графиков — (0, 0) и (1, 1).

Также можно заметить, что для $x \geq 0$ функции $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$ являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой $y=x$.

• При $x \in (0, 1)$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x^2$.
• При $x \in (1, \infty)$ график функции $y = x^2$ расположен выше графика функции $y = \sqrt{x}$.

2. Сравнение значений функций

Сравним значения функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ в заданных точках.

При x = 0

Для функции $y=x^2$: $y = 0^2 = 0$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{0} = 0$.
Значения функций равны.

Ответ: $x^2 = \sqrt{x}$

При x = 0,5

Для функции $y=x^2$: $y = (0,5)^2 = 0,25$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$.
$0,25 < 0,707$, следовательно, $x^2 < \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 < \sqrt{x}$

При x = 1

Для функции $y=x^2$: $y = 1^2 = 1$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{1} = 1$.
Значения функций равны.

Ответ: $x^2 = \sqrt{x}$

При x = 3/2

Для функции $y=x^2$: $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2,25$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5} \approx 1,225$.
$2,25 > 1,225$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 2

Для функции $y=x^2$: $y = 2^2 = 4$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{2} \approx 1,414$.
$4 > 1,414$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 3

Для функции $y=x^2$: $y = 3^2 = 9$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{3} \approx 1,732$.
$9 > 1,732$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 4

Для функции $y=x^2$: $y = 4^2 = 16$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{4} = 2$.
$16 > 2$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$

При x = 5

Для функции $y=x^2$: $y = 5^2 = 25$.
Для функции $y=\sqrt{x}$: $y = \sqrt{5} \approx 2,236$.
$25 > 2,236$, следовательно, $x^2 > \sqrt{x}$.

Ответ: $x^2 > \sqrt{x}$