Номер 632, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (632–633).

632. 1) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3;$

2) $\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}.$

1)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3$.
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1. Правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно.
$\begin{cases} x + 3 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства получаем $x < -3$.
Решим второе неравенство $x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1=1$, $x_2=2$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.
Пересечение решений $x < -3$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ дает нам интервал $x \in (-\infty, -3)$.

2. Правая часть неотрицательна. В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат.
$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства получаем $x \ge -3$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9$
$-3x - 6x > 9 - 2$
$-9x > 7$
$x < -\frac{7}{9}$
Пересечение решений $x \ge -3$ и $x < -\frac{7}{9}$ дает нам интервал $x \in [-3, -\frac{7}{9})$.

Объединим решения обеих систем: $(-\infty, -3) \cup [-3, -\frac{7}{9})$.
Получаем итоговое решение $x \in (-\infty, -\frac{7}{9})$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{9})$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}$.
Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Решение является объединением решений двух систем.

1. Правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно.
$\begin{cases} -x - \frac{1}{4} < 0 \\ 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства: $-x < \frac{1}{4}$, что равносильно $x > -\frac{1}{4}$.
Решим второе неравенство $2x^2 - 7x - 4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [4, \infty)$.
Пересечение решений $x > -\frac{1}{4}$ и $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [4, \infty)$ дает нам интервал $x \in [4, \infty)$.

2. Правая часть неотрицательна. Возводим обе части в квадрат.
$\begin{cases} -x - \frac{1}{4} \ge 0 \\ 2x^2 - 7x - 4 > (-x - \frac{1}{4})^2 \end{cases}$
Решим эту систему:
Из первого неравенства: $-x \ge \frac{1}{4}$, что равносильно $x \le -\frac{1}{4}$.
Решим второе неравенство:
$2x^2 - 7x - 4 > (x + \frac{1}{4})^2$
$2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$
$x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0$
Умножим на 16: $16x^2 - 120x - 65 > 0$.
Найдем корни уравнения $16x^2 - 120x - 65 = 0$.
$D = (-120)^2 - 4(16)(-65) = 14400 + 4160 = 18560$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{32} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4}$.
Решение неравенства $16x^2 - 120x - 65 > 0$: $x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup (\frac{15 + \sqrt{290}}{4}, \infty)$.
Нам нужно найти пересечение этого решения с условием $x \le -\frac{1}{4}$ и областью определения $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}]$. Общее ограничение $x \le -\frac{1}{2}$.
Сравним корень $\frac{15 - \sqrt{290}}{4}$ с $-\frac{1}{2}$. Так как $17 = \sqrt{289} < \sqrt{290}$, то $15 - \sqrt{290} < 15 - 17 = -2$, следовательно $\frac{15 - \sqrt{290}}{4} < \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Поэтому, для $x \le -\frac{1}{2}$ решение будет $x < \frac{15 - \sqrt{290}}{4}$.

Объединяем решения обеих систем: $(-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4, \infty)$.