Номер 646, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

646. Найти функцию, обратную к данной, её область определения и множество значений:

1) $y = 2 + \sqrt{x+2}$;

2) $y = 2 - \sqrt{x+4}$;

3) $y = \sqrt{3-x}-1$;

4) $y = \sqrt{1-x}+3$.

1) Дана функция $y = 2 + \sqrt{x+2}$.
Сначала найдем область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$ данной функции.
Область определения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Следовательно, $D(y) = [-2; +\infty)$.
Для нахождения множества значений заметим, что $\sqrt{x+2} \ge 0$. Тогда:
$y = 2 + \sqrt{x+2} \ge 2 + 0 \implies y \ge 2$.
Следовательно, $E(y) = [2; +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Для этого выразим $x$ через $y$:
$y - 2 = \sqrt{x+2}$.
Возведем обе части в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии $y - 2 \ge 0$, то есть $y \ge 2$, что соответствует найденному множеству значений $E(y)$.
$(y-2)^2 = x+2$
$x = (y-2)^2 - 2$.
Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = (x-2)^2 - 2$.
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции: $D(y_{обр}) = [2; +\infty)$.
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(y_{обр}) = [-2; +\infty)$.
Ответ: обратная функция $y = (x-2)^2 - 2$, её область определения $D(y) = [2; +\infty)$, множество значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

2) Дана функция $y = 2 - \sqrt{x+4}$.
Найдем ее область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$.
$D(y)$: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Итак, $D(y) = [-4; +\infty)$.
$E(y)$: $\sqrt{x+4} \ge 0 \implies -\sqrt{x+4} \le 0 \implies y = 2 - \sqrt{x+4} \le 2$. Итак, $E(y) = (-\infty; 2]$.
Теперь найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{x+4} = 2 - y$.
Возведем в квадрат обе части, при условии $2-y \ge 0$, то есть $y \le 2$, что соответствует $E(y)$.
$x+4 = (2-y)^2$
$x = (2-y)^2 - 4$. Поскольку $(2-y)^2 = (y-2)^2$, можно записать $x = (y-2)^2 - 4$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = (x-2)^2 - 4$.
Область определения обратной функции - это множество значений исходной: $D(y_{обр}) = (-\infty; 2]$.
Множество значений обратной функции - это область определения исходной: $E(y_{обр}) = [-4; +\infty)$.
Ответ: обратная функция $y=(x-2)^2-4$, её область определения $D(y)=(-\infty; 2]$, множество значений $E(y)=[-4; +\infty)$.

3) Дана функция $y = \sqrt{3-x} - 1$.
Найдем ее область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$.
$D(y)$: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Итак, $D(y) = (-\infty; 3]$.
$E(y)$: $\sqrt{3-x} \ge 0 \implies y = \sqrt{3-x} - 1 \ge -1$. Итак, $E(y) = [-1; +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:
$y+1 = \sqrt{3-x}$.
Возведем в квадрат обе части, при условии $y+1 \ge 0$, то есть $y \ge -1$, что соответствует $E(y)$.
$(y+1)^2 = 3-x$
$x = 3 - (y+1)^2$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = 3 - (x+1)^2$.
Область определения обратной функции - это множество значений исходной: $D(y_{обр}) = [-1; +\infty)$.
Множество значений обратной функции - это область определения исходной: $E(y_{обр}) = (-\infty; 3]$.
Ответ: обратная функция $y=3-(x+1)^2$, её область определения $D(y)=[-1; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; 3]$.

4) Дана функция $y = \sqrt{1-x} + 3$.
Найдем ее область определения $D(y)$ и множество значений $E(y)$.
$D(y)$: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. Итак, $D(y) = (-\infty; 1]$.
$E(y)$: $\sqrt{1-x} \ge 0 \implies y = \sqrt{1-x} + 3 \ge 3$. Итак, $E(y) = [3; +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:
$y-3 = \sqrt{1-x}$.
Возведем в квадрат обе части, при условии $y-3 \ge 0$, то есть $y \ge 3$, что соответствует $E(y)$.
$(y-3)^2 = 1-x$
$x = 1 - (y-3)^2$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$y = 1 - (x-3)^2$.
Область определения обратной функции - это множество значений исходной: $D(y_{обр}) = [3; +\infty)$.
Множество значений обратной функции - это область определения исходной: $E(y_{обр}) = (-\infty; 1]$.
Ответ: обратная функция $y=1-(x-3)^2$, её область определения $D(y)=[3; +\infty)$, множество значений $E(y)=(-\infty; 1]$.