Номер 653, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (653–654).

653. 1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 84, \\ x + y + \sqrt{xy} = 14; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{2x - 1} + \sqrt{3 - y} = 3, \\ 6x + y - 2xy = 7. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 84 \\ x + y + \sqrt{xy} = 14 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $xy \ge 0$.

Данная система является симметрической. Введем новые переменные. Пусть $u = x+y$ и $v = \sqrt{xy}$. Так как корень является арифметическим, то $v \ge 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

$(x+y)^2 - 2xy + xy = 84$

$(x+y)^2 - xy = 84$

Подставим новые переменные $u$ и $v$. Учтем, что $xy = (\sqrt{xy})^2 = v^2$.

$u^2 - v^2 = 84$

Второе уравнение системы в новых переменных выглядит так:

$u + v = 14$

Таким образом, мы получили систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u^2 - v^2 = 84 \\ u + v = 14 \end{cases} $$

Разложим левую часть первого уравнения на множители как разность квадратов: $(u-v)(u+v) = 84$.

Подставим значение $u+v=14$ из второго уравнения в первое:

$(u-v) \cdot 14 = 84$

$u-v = \frac{84}{14}$

$u-v = 6$

Теперь решим получившуюся систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} u + v = 14 \\ u - v = 6 \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $(u+v) + (u-v) = 14+6 \implies 2u = 20 \implies u=10$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(u+v) - (u-v) = 14-6 \implies 2v = 8 \implies v=4$.

Значение $v=4$ удовлетворяет условию $v \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = u = 10 \\ \sqrt{xy} = v = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 16 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{10 - 6}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 8)$ и $(8, 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($2 \cdot 8 = 16 \ge 0$).

Ответ: $(2, 8), (8, 2)$.

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{2x-1} + \sqrt{3-y} = 3 \\ 6x+y-2xy = 7 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$

$3-y \ge 0 \implies y \le 3$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{2x-1}$ и $b = \sqrt{3-y}$. По определению арифметического квадратного корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$:

$a^2 = 2x-1 \implies 2x = a^2+1 \implies x = \frac{a^2+1}{2}$

$b^2 = 3-y \implies y = 3-b^2$

Первое уравнение системы в новых переменных примет вид:

$a+b=3$

Подставим выражения для $x$ и $y$ во второе уравнение системы:

$6\left(\frac{a^2+1}{2}\right) + (3-b^2) - 2\left(\frac{a^2+1}{2}\right)(3-b^2) = 7$

$3(a^2+1) + 3 - b^2 - (a^2+1)(3-b^2) = 7$

$3a^2+3 + 3 - b^2 - (3a^2 - a^2b^2 + 3 - b^2) = 7$

$3a^2 + 6 - b^2 - 3a^2 + a^2b^2 - 3 + b^2 = 7$

$3 + a^2b^2 = 7$

$a^2b^2 = 4$

$(ab)^2 = 4$

Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то их произведение $ab$ также неотрицательно. Следовательно, $ab=2$.

Получаем систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a+b = 3 \\ ab = 2 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решим это уравнение, разложив на множители: $(t-1)(t-2) = 0$. Корни $t_1=1, t_2=2$.

Таким образом, возможны два случая для пары $(a,b)$: $(1,2)$ и $(2,1)$.

Случай 1: $a=1, b=2$.

$\sqrt{2x-1} = 1 \implies 2x-1 = 1^2 \implies 2x=2 \implies x=1$.

$\sqrt{3-y} = 2 \implies 3-y = 2^2 \implies 3-y=4 \implies y=-1$.

Получили решение $(1, -1)$. Проверим его по ОДЗ: $x=1 \ge 1/2$ (верно), $y=-1 \le 3$ (верно). Решение подходит.

Случай 2: $a=2, b=1$.

$\sqrt{2x-1} = 2 \implies 2x-1 = 2^2 \implies 2x-1=4 \implies 2x=5 \implies x=\frac{5}{2}$.

$\sqrt{3-y} = 1 \implies 3-y = 1^2 \implies y=2$.

Получили решение $(\frac{5}{2}, 2)$. Проверим его по ОДЗ: $x=5/2 \ge 1/2$ (верно), $y=2 \le 3$ (верно). Решение подходит.

Ответ: $(1, -1), (\frac{5}{2}, 2)$.