Номер 3, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Решить уравнение:

1) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+4}$;

2) $\sqrt[4]{x-1}+\sqrt{x-1}=30$.

1) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$2x+4 \ge 0 \implies 2x \ge -4 \implies x \ge -2$

Пересечением этих трех условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{2x+4})^2$

$(x+5) - 2\sqrt{(x+5)(x-1)} + (x-1) = 2x+4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x+4 - 2\sqrt{x^2+4x-5} = 2x+4$

Вычтем $2x+4$ из обеих частей уравнения:

$-2\sqrt{x^2+4x-5} = 0$

$\sqrt{x^2+4x-5} = 0$

Снова возведем в квадрат обе части:

$x^2+4x-5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = -5$ не принадлежит ОДЗ, поэтому это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=1$, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{1+5}-\sqrt{1-1} = \sqrt{2(1)+4}$

$\sqrt{6}-\sqrt{0} = \sqrt{6}$

$\sqrt{6} = \sqrt{6}$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt[4]{x-1}+\sqrt{x-1}=30$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Заметим, что $\sqrt{x-1} = (\sqrt[4]{x-1})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x-1}$.

Поскольку корень четвертой степени из неотрицательного числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t + t^2 = 30$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2+t-30=0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

По теореме Виета: сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

$t_2 = -6$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень для переменной $t$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя $t=5$.

$\sqrt[4]{x-1} = 5$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x-1})^4 = 5^4$

$x-1 = 625$

$x = 626$

Найденный корень $x=626$ принадлежит ОДЗ ($x \ge 1$).

Выполним проверку:

$\sqrt[4]{626-1}+\sqrt{626-1} = \sqrt[4]{625}+\sqrt{625} = 5 + 25 = 30$

$30=30$

Равенство верное.

Ответ: $626$.