Номер 662, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

662. (Устно.) Используя свойство возрастания (или убывания) показательной функции, сравнить числа:

1) $1,7^3$ и $1$;

2) $0,3^2$ и $1$;

3) $3,2^{1,5}$ и $3,2^{1,6}$;

4) $0,2^{-3}$ и $0,2^{-2}$;

5) $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{5})^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,14}$.

Для сравнения чисел используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. То есть, большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. То есть, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

1) Сравнить $1,7^3$ и $1$.
Рассмотрим показательную функцию $y = 1,7^x$. Так как основание $a = 1,7 > 1$, эта функция является возрастающей. Представим число $1$ в виде степени с основанием $1,7$: $1 = 1,7^0$. Теперь сравним показатели степеней: $3$ и $0$. Поскольку $3 > 0$ и функция возрастающая, то $1,7^3 > 1,7^0$.
Ответ: $1,7^3 > 1$.

2) Сравнить $0,3^2$ и $1$.
Рассмотрим показательную функцию $y = 0,3^x$. Так как основание $a = 0,3$, и $0 < 0,3 < 1$, эта функция является убывающей. Представим число $1$ в виде степени с основанием $0,3$: $1 = 0,3^0$. Сравним показатели степеней: $2$ и $0$. Поскольку $2 > 0$ и функция убывающая, то $0,3^2 < 0,3^0$.
Ответ: $0,3^2 < 1$.

3) Сравнить $3,2^{1,5}$ и $3,2^{1,6}$.
Основание степени $a = 3,2 > 1$, следовательно, показательная функция $y = 3,2^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $1,5 < 1,6$. Так как функция возрастающая, меньшему показателю соответствует меньшее значение степени.
Ответ: $3,2^{1,5} < 3,2^{1,6}$.

4) Сравнить $0,2^{-3}$ и $0,2^{-2}$.
Основание степени $a = 0,2$, и $0 < 0,2 < 1$, следовательно, показательная функция $y = 0,2^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-3 < -2$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени.
Ответ: $0,2^{-3} > 0,2^{-2}$.

5) Сравнить $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{5})^{1,4}$.
Основание степени $a = \frac{1}{5}$, и $0 < \frac{1}{5} < 1$, следовательно, показательная функция $y = (\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$. Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1,414...$, значит $\sqrt{2} > 1,4$. Так как функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени.
Ответ: $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{5})^{1,4}$.

6) Сравнить $3^\pi$ и $3^{3,14}$.
Основание степени $a = 3 > 1$, следовательно, показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,14$. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14159...$, значит $\pi > 3,14$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени.
Ответ: $3^\pi > 3^{3,14}$.