Номер 668, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

668. Построить график функции:

1) $y = 3^x - 2$;

2) $y = (\frac{1}{2})^x + 3$;

3) $y = 2^{x+1}$;

4) $y = 3^{x-2}$.

1) $y = 3^x - 2$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графика базовой показательной функции.
1. Базовая функция. В качестве основы возьмем график функции $y_0 = 3^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Ее график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).
2. Преобразование. Исходная функция $y = 3^x - 2$ получается из базовой функции $y_0 = 3^x$ путем вычитания 2. Геометрически это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика базовой функции на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.
3. Горизонтальная асимптота. Асимптота базовой функции $y=0$ также сдвигается на 2 единицы вниз, поэтому для графика функции $y = 3^x - 2$ горизонтальной асимптотой будет прямая $y = -2$.
4. Ключевые точки. Найдем координаты некоторых точек, чтобы точнее построить график:
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• При $x=1$, $y = 3^1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=-1$, $y = 3^{-1} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$. Точка $(-1, -1\frac{2}{3})$.
• Точка пересечения с осью Ox: $y=0 \implies 3^x - 2 = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$. Точка $(\log_3 2, 0)$.
5. Построение. На координатной плоскости строим пунктирной линией асимптоту $y=-2$. Затем отмечаем вычисленные точки $(0, -1)$, $(1, 1)$ и $(\log_3 2, 0) \approx (0.63, 0)$ и соединяем их плавной кривой, которая возрастает и приближается к асимптоте при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 3^x - 2$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-2$. График возрастает и проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$

1. Базовая функция. Возьмем график функции $y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Так как основание $a=1/2$ находится в интервале $0 < a < 1$, это убывающая показательная функция. Ее график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Преобразование. Исходная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$ получается из базовой функции $y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем прибавления 3. Геометрически это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.
3. Горизонтальная асимптота. Асимптота базовой функции $y=0$ также сдвигается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.
4. Ключевые точки.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = (\frac{1}{2})^0 + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x=-1$, $y = (\frac{1}{2})^{-1} + 3 = 2 + 3 = 5$. Точка $(-1, 5)$.
• При $x=1$, $y = (\frac{1}{2})^1 + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$. Точка $(1, 3.5)$.
5. Построение. Строим асимптоту $y=3$. Отмечаем точки $(0, 4)$, $(-1, 5)$, $(1, 3.5)$ и соединяем их плавной убывающей кривой, которая приближается к асимптоте при $x \to +\infty$. График полностью лежит выше асимптоты.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$ — это график функции $y=(\frac{1}{2})^x$, сдвинутый на 3 единицы вверх. Горизонтальная асимптота — $y=3$. График убывает и проходит через точки $(0, 4)$ и $(-1, 5)$.

3) $y = 2^{x+1}$

1. Базовая функция. Возьмем график функции $y_0 = 2^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ с асимптотой $y=0$.
2. Преобразование. Исходная функция $y = 2^{x+1}$ получается из базовой функции $y_0 = 2^x$ заменой $x$ на $x+1$. Геометрически это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 1 единицу влево вдоль оси Ox.
3. Горизонтальная асимптота. Горизонтальный сдвиг не влияет на положение горизонтальной асимптоты, поэтому она остается $y=0$.
4. Ключевые точки.
• Точка $(0, 1)$ базового графика сдвигается влево на 1 и становится точкой $(0-1, 1) = (-1, 1)$.
• Точка $(1, 2)$ базового графика сдвигается и становится точкой $(1-1, 2) = (0, 2)$. Это точка пересечения с осью Oy.
• При $x=1$, $y = 2^{1+1} = 2^2 = 4$. Точка $(1, 4)$.
5. Построение. График проходит через вычисленные точки $(-1, 1)$, $(0, 2)$ и $(1, 4)$, возрастает и приближается к оси Ox при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 2^{x+1}$ — это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота — $y=0$. График возрастает и проходит через точки $(-1, 1)$ и $(0, 2)$.

4) $y = 3^{x-2}$

1. Базовая функция. Возьмем график функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через $(0, 1)$ с асимптотой $y=0$.
2. Преобразование. Исходная функция $y = 3^{x-2}$ получается из базовой функции $y_0 = 3^x$ заменой $x$ на $x-2$. Геометрически это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
3. Горизонтальная асимптота. Горизонтальный сдвиг не влияет на положение горизонтальной асимптоты, она остается $y=0$.
4. Ключевые точки.
• Точка $(0, 1)$ базового графика сдвигается вправо на 2 и становится точкой $(0+2, 1) = (2, 1)$.
• Точка $(1, 3)$ базового графика сдвигается и становится точкой $(1+2, 3) = (3, 3)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = 3^{0-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка $(0, \frac{1}{9})$.
5. Построение. График проходит через вычисленные точки $(0, 1/9)$, $(2, 1)$ и $(3, 3)$, возрастает и приближается к оси Ox при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 3^{x-2}$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Горизонтальная асимптота — $y=0$. График возрастает и проходит через точки $(2, 1)$ и $(0, 1/9)$.