Номер 673, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

673. Построить график функции:

1) $y = 2^{|x|};$

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|};$

3) $y = |3^x - 2|;$

4) $y = 2 - 3^x.$

1) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика функции $y = 2^{|x|}$ воспользуемся правилом построения графиков функций вида $y = f(|x|)$.

1. Сначала построим график базовой функции $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$. Другие характерные точки: $(1, 2)$, $(2, 4)$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

2. Согласно правилу построения графика $y = f(|x|)$, мы должны:

• Оставить без изменений ту часть графика $y = f(x)$, которая соответствует значениям $x \ge 0$. В нашем случае, это часть графика $y = 2^x$ справа от оси Oy, включая точку $(0, 1)$.
• Отразить эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Это даст нам часть графика для $x < 0$.

Функция $y = 2^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

В результате мы получаем график, состоящий из двух ветвей. Обе ветви начинаются в точке $(0, 1)$, которая является точкой минимума функции. Правая ветвь совпадает с графиком $y = 2^x$ при $x \ge 0$. Левая ветвь является ее зеркальным отражением и совпадает с графиком $y = 2^{-x}$ (или $y = (\frac{1}{2})^x$) при $x < 0$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума $(0, 1)$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=2^x$, а для $x < 0$ - с графиком $y=2^{-x}$.

2) $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$

Построение этого графика аналогично предыдущему пункту, так как функция имеет вид $y = f(|x|)$, где $f(x) = (\frac{1}{3})^x$.

1. Сначала строим график базовой функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция, так как основание $1/3$ меньше 1. Она проходит через точку $(0, 1)$. Другие характерные точки: $(1, 1/3)$, $(-1, 3)$. При $x \to \infty$, $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

2. Применяем правило построения графика $y = f(|x|)$:

• Оставляем часть графика $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$. Эта ветвь начинается в точке $(0, 1)$ и убывает, приближаясь к оси Ox.
• Отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Так как функция $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$ четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

Итоговый график имеет "шапку" в точке $(0, 1)$, которая является точкой максимума. Обе ветви графика симметрично убывают при $|x| \to \infty$, асимптотически приближаясь к оси Ox ($y=0$).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку максимума $(0, 1)$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=(\frac{1}{3})^x$, а для $x < 0$ - с графиком $y=3^x$.

3) $y = |3^x - 2|$

Для построения графика функции $y = |3^x - 2|$ воспользуемся правилом построения графиков функций вида $y = |f(x)|$. Для этого сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 3^x - 2$.

1. Строим график функции $y = 3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ с горизонтальной асимптотой $y=0$.

2. Сдвигаем график $y = 3^x$ на 2 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график $y_1 = 3^x - 2$.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=-2$.
• Точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, -1)$, которая является точкой пересечения с осью Oy.
• Найдем точку пересечения с осью Ox: $3^x - 2 = 0 \Rightarrow 3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$. Точка пересечения: $(\log_3 2, 0)$.

3. Теперь применяем операцию взятия модуля: $y = |3^x - 2|$.

• Часть графика $y_1 = 3^x - 2$, которая находится выше или на оси Ox (при $x \ge \log_3 2$), остается без изменений.
• Часть графика, которая находится ниже оси Ox (при $x < \log_3 2$), отражается симметрично относительно оси Ox.

В результате отражения точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=-2$ (при $x \to -\infty$) отражается в горизонтальную асимптоту $y=2$. Точка $(\log_3 2, 0)$ становится точкой "излома" (точкой минимума).

Ответ: График получается из графика $y=3^x-2$ отражением его отрицательной части относительно оси Ox. График имеет точку минимума (излом) в точке $(\log_3 2, 0)$, пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.

4) $y = 2 - 3^x$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = 3^x$. Функцию можно переписать в виде $y = -3^x + 2$.

1. Строим график базовой функции $y = 3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через $(0, 1)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.

2. Отражаем график $y = 3^x$ симметрично относительно оси Ox. Получаем график функции $y = -3^x$. Теперь функция убывающая, проходит через точку $(0, -1)$, асимптота остается $y=0$. График полностью лежит ниже оси Ox.

3. Сдвигаем полученный график $y = -3^x$ на 2 единицы вверх по оси Oy. Получаем искомый график $y = -3^x + 2$.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=2$.
• Точка $(0, -1)$ смещается в точку $(0, 1)$, которая является точкой пересечения с осью Oy.
• Найдем точку пересечения с осью Ox: $2 - 3^x = 0 \Rightarrow 3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$. Точка пересечения: $(\log_3 2, 0)$.

Итоговый график - это монотонно убывающая функция. При $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к прямой $y=2$ сверху. При $x \to \infty$ график уходит в $-\infty$.

Ответ: График является убывающей функцией, пересекает оси координат в точках $(0, 1)$ и $(\log_3 2, 0)$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.