Номер 680, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

680. 1) $27^x = \frac{1}{3}$;

2) $400^x = \frac{1}{20}$;

3) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$;

4) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$.

1) Решим уравнение $27^x = \frac{1}{3}$.

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобным общим основанием является число 3.

Представим число 27 в виде степени с основанием 3: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.

Представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(3^3)^x = 3^{-1}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части:

$3^{3x} = 3^{-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = -1$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$

2) Решим уравнение $400^x = \frac{1}{20}$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию. Заметим, что $400 = 20^2$. Общим основанием будет 20.

Представим 400 как степень числа 20: $400 = 20^2$.

Представим $\frac{1}{20}$ как степень числа 20: $\frac{1}{20} = 20^{-1}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(20^2)^x = 20^{-1}$

Упростим левую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$20^{2x} = 20^{-1}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x = -1$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$

3) Решим уравнение $(\frac{1}{5})^x = 25$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию 5.

Представим основание левой части $\frac{1}{5}$ как степень числа 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Представим число 25 в правой части как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Подставляем в исходное уравнение:

$(5^{-1})^x = 5^2$

Упрощаем левую часть:

$5^{-x} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 2$

Умножаем обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -2$

Ответ: $x = -2$

4) Решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$.

В этом уравнении удобно привести правую часть к основанию левой части, то есть к $\frac{1}{3}$.

Выясним, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 81: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$. Таким образом, $81 = 3^4$.

Тогда правую часть можно записать так:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^4$

Поскольку основания в обеих частях уравнения одинаковы, можем приравнять показатели степеней:

$x = 4$

Ответ: $x = 4$