Номер 682, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

682. 1) $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108;$

2) $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30;$

3) $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x} = 28;$

4) $3^{x-1} - 3^{x} + 3^{x+1} = 63.$

1) $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$3^{2x} \cdot 3^{-1} + 3^{2x} = 108$
Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:
$3^{2x}(3^{-1} + 1) = 108$
$3^{2x}(\frac{1}{3} + 1) = 108$
$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 108$
Теперь выразим $3^{2x}$:
$3^{2x} = 108 \cdot \frac{3}{4}$
$3^{2x} = 27 \cdot 3$
$3^{2x} = 81$
Представим 81 как степень с основанием 3:
$81 = 3^4$
Получаем уравнение:
$3^{2x} = 3^4$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30$

Используем свойства степеней и вынесем за скобки общий множитель $2^{3x-2}$ (степень с наименьшим показателем):
$2^{3x-2} \cdot 2^4 - 2^{3x-2} = 30$
$2^{3x-2}(2^4 - 1) = 30$
$2^{3x-2}(16 - 1) = 30$
$2^{3x-2} \cdot 15 = 30$
Разделим обе части на 15:
$2^{3x-2} = \frac{30}{15}$
$2^{3x-2} = 2$
Представим 2 как $2^1$:
$2^{3x-2} = 2^1$
Приравниваем показатели степеней:
$3x - 2 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

3) $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28$

Вынесем за скобки общий множитель $2^x$ (или $2^{x-1}$ для удобства):
$2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x = 28$
$2^x(2 + 2^{-1} + 1) = 28$
$2^x(2 + \frac{1}{2} + 1) = 28$
$2^x(3 + \frac{1}{2}) = 28$
$2^x \cdot \frac{7}{2} = 28$
Выразим $2^x$:
$2^x = 28 \cdot \frac{2}{7}$
$2^x = 4 \cdot 2$
$2^x = 8$
Представим 8 как степень с основанием 2:
$8 = 2^3$
$2^x = 2^3$
Приравниваем показатели:
$x = 3$
Ответ: $x=3$.

4) $3^{x-1} - 3^x + 3^{x+1} = 63$

Вынесем за скобки общий множитель $3^x$ (или $3^{x-1}$ для удобства):
$3^x \cdot 3^{-1} - 3^x \cdot 1 + 3^x \cdot 3^1 = 63$
$3^x(3^{-1} - 1 + 3) = 63$
$3^x(\frac{1}{3} - 1 + 3) = 63$
$3^x(\frac{1}{3} + 2) = 63$
$3^x(\frac{1+6}{3}) = 63$
$3^x \cdot \frac{7}{3} = 63$
Выразим $3^x$:
$3^x = 63 \cdot \frac{3}{7}$
$3^x = 9 \cdot 3$
$3^x = 27$
Представим 27 как степень с основанием 3:
$27 = 3^3$
$3^x = 3^3$
Приравниваем показатели:
$x = 3$
Ответ: $x=3$.