Номер 678, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

678. Проверить, насколько точна формула Боде для Урана, Нептуна и Плутона, находящихся от Солнца на расстояниях 19,2; 30,0; 39,5 астрономических единиц соответственно.

Правило Тициуса-Боде (или формула Боде) — это эмпирическая формула, которая приблизительно описывает средние расстояния планет от Солнца. Она выражается следующим образом:

$R_i = \frac{4 + D_i}{10}$

где $R_i$ — это расстояние от планеты до Солнца в астрономических единицах (а.е.), а $D_i$ — это член числовой последовательности: 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ... (где каждое число, начиная с 3, удваивает предыдущее).

Проверим точность этой формулы для Урана, Нептуна и Плутона, используя их известные средние расстояния от Солнца.

Уран

Уран — седьмая планета от Солнца (после Сатурна). В последовательности Боде ему соответствует число 192. Подставим это значение в формулу:

$R_{\text{Уран}} = \frac{4 + 192}{10} = \frac{196}{10} = 19.6$ а.е.

Фактическое среднее расстояние Урана от Солнца составляет 19.2 а.е. Чтобы оценить точность, рассчитаем относительную погрешность:

$\delta = \frac{|R_{\text{факт}} - R_{\text{предск}}|}{R_{\text{факт}}} \cdot 100\% = \frac{|19.2 - 19.6|}{19.2} \cdot 100\% = \frac{0.4}{19.2} \cdot 100\% \approx 2.1\%$

Такая погрешность считается небольшой, и предсказание для Урана было одним из триумфов правила Боде.

Ответ: Для Урана формула Боде дает значение 19.6 а.е., что отличается от фактического (19.2 а.е.) всего на 2.1%. Следовательно, для Урана формула достаточно точна.

Нептун

Нептун — восьмая планета. Согласно правилу, для него должен использоваться следующий член последовательности, то есть 384. Рассчитаем предсказанное расстояние:

$R_{\text{Нептун}} = \frac{4 + 384}{10} = \frac{388}{10} = 38.8$ а.е.

Фактическое среднее расстояние Нептуна от Солнца равно 30.0 а.е. Рассчитаем относительную погрешность:

$\delta = \frac{|30.0 - 38.8|}{30.0} \cdot 100\% = \frac{8.8}{30.0} \cdot 100\% \approx 29.3\%$

Погрешность очень велика. Несоответствие для Нептуна стало первым серьезным провалом правила Тициуса-Боде.

Ответ: Формула Боде для Нептуна неточна. Она предсказывает расстояние 38.8 а.е., в то время как фактическое составляет 30.0 а.е. Относительная погрешность достигает 29.3%.

Плутон

Плутон, который долгое время считался девятой планетой, имеет среднее расстояние от Солнца 39.5 а.е. Проверим два варианта.

1. Если считать Плутон девятой планетой, следующий член последовательности Боде равен 768:

$R_{\text{Плутон}} = \frac{4 + 768}{10} = \frac{772}{10} = 77.2$ а.е.

Погрешность в этом случае огромна:

$\delta = \frac{|39.5 - 77.2|}{39.5} \cdot 100\% \approx 95.4\%$

2. Интересно, что фактическое расстояние до Плутона (39.5 а.е.) очень близко к значению, которое правило Боде предсказывало для восьмой планеты (38.8 а.е.), т.е. для "места" Нептуна. Сравним фактическое расстояние Плутона с предсказанным для восьмой планеты:

$\delta = \frac{|39.5 - 38.8|}{39.5} \cdot 100\% = \frac{0.7}{39.5} \cdot 100\% \approx 1.8\%$

Погрешность составляет менее 2%, что является очень хорошим совпадением.

Ответ: Формула Боде для Плутона, если рассматривать его как девятую планету, абсолютно неточна (погрешность ~95%). Однако его реальное расстояние 39.5 а.е. удивительно близко к значению 38.8 а.е., которое формула предсказывает для восьмой планеты (с погрешностью ~1.8%), место которой в Солнечной системе занимает Нептун.