Номер 672, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

672. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 2^{|x|}$ на отрезке $[-1; 1];

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$ на отрезке $[-2; 1].

1) Дана функция $y = 2^{|x|}$ на отрезке $[-1; 1]$.

Основание степени $a=2$, и так как $a > 1$, то показательная функция $y = 2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции, а меньшему значению аргумента — меньшее значение функции. В нашем случае аргументом является $|x|$.

Следовательно, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y=2^{|x|}$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения выражения $|x|$ на отрезке $[-1; 1]$.

На отрезке $x \in [-1; 1]$:

• Наименьшее значение $|x|$ достигается при $x=0$ и равно $|0| = 0$.
• Наибольшее значение $|x|$ достигается на концах отрезка, при $x=-1$ и $x=1$, и равно $|-1| = |1| = 1$.

Теперь подставим эти значения в функцию:

Наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[-1; 1]$:

$y_{\text{наим}} = 2^0 = 1$.

Наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[-1; 1]$:

$y_{\text{наиб}} = 2^1 = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение функции равно 2.

2) Дана функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$ на отрезке $[-2; 1]$.

Основание степени $a=\frac{1}{2}$, и так как $0 < a < 1$, то показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции, а меньшему значению аргумента — большее значение функции.

Следовательно, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения выражения $|x|$ на отрезке $[-2; 1]$ и учесть, что зависимость обратная.

На отрезке $x \in [-2; 1]$:

• Наименьшее значение $|x|$ достигается при $x=0$ и равно $|0| = 0$.
• Наибольшее значение $|x|$ достигается в точке $x=-2$ и равно $|-2| = 2$. (В другой крайней точке отрезка, $x=1$, значение $|1|=1$, что меньше 2).

Теперь найдем значения функции:

Наибольшее значение функции $y$ будет при наименьшем значении $|x|$:

$y_{\text{наиб}} = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$.

Наименьшее значение функции $y$ будет при наибольшем значении $|x|$:

$y_{\text{наим}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, наибольшее значение функции равно 1.