Номер 665, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

665. (Устно.) Решить уравнение:

1) $5^x = \frac{1}{5}$;

2) $7^x = 49$;

3) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \sqrt{3}$;

4) $\left(\frac{1}{7}\right)^x = \sqrt[3]{7}$.

1) $5^x = \frac{1}{5}$

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо представить обе его части в виде степени с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 5.

Правую часть уравнения, $\frac{1}{5}$, можно представить как степень с основанием 5, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$5^x = 5^{-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -1$

Ответ: $-1$

2) $7^x = 49$

Для решения этого уравнения представим обе части в виде степени с основанием 7.

Число 49 в правой части является второй степенью числа 7:

$49 = 7^2$

Подставим это значение в уравнение:

$7^x = 7^2$

Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Левую часть преобразуем, используя свойства степеней $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Правую часть преобразуем, используя определение корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4) $(\frac{1}{7})^x = \sqrt[3]{7}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7.

Левую часть преобразуем аналогично предыдущему примеру:

$(\frac{1}{7})^x = (7^{-1})^x = 7^{-x}$

Правую часть также преобразуем по определению корня:

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$

Подставляем преобразованные выражения в исходное уравнение:

$7^{-x} = 7^{\frac{1}{3}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-x = \frac{1}{3}$

Находим $x$:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$