Номер 670, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

670. Доказать, что графики функций $y = 2^x$ и $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ симметричны относительно оси ординат.

Для того чтобы доказать, что графики двух функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ симметричны относительно оси ординат (оси OY), необходимо показать, что для любого значения $x$ из их общей области определения выполняется равенство $g(x) = f(-x)$.

Доказательство:

В нашем случае даны две функции:
$f(x) = 2^x$
$g(x) = (\frac{1}{2})^x$

Областью определения обеих функций является множество всех действительных чисел ($D(f) = D(g) = \mathbb{R}$).

Найдем выражение для $f(-x)$. Для этого подставим $-x$ в функцию $f(x)$ вместо $x$:
$f(-x) = 2^{-x}$

Теперь преобразуем полученное выражение, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или, что то же самое, $a^{-k} = (a^{-1})^k$:
$f(-x) = 2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$

Сравнивая результат с функцией $g(x)$, мы видим, что:
$f(-x) = (\frac{1}{2})^x = g(x)$

Так как равенство $g(x) = f(-x)$ выполняется для всех $x$, это доказывает, что графики функций $y = 2^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$ симметричны относительно оси ординат.

Альтернативное доказательство (через точки):

Возьмем произвольную точку $A(x_0, y_0)$, принадлежащую графику функции $y = 2^x$. Это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению: $y_0 = 2^{x_0}$.

Точка $B$, симметричная точке $A$ относительно оси ординат, будет иметь координаты $(-x_0, y_0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $B$ графику функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Для этого подставим ее абсциссу $x = -x_0$ в уравнение второй функции:
$y = (\frac{1}{2})^{-x_0}$

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$y = (\frac{2}{1})^{x_0} = 2^{x_0}$

Поскольку мы изначально определили, что $y_0 = 2^{x_0}$, то мы получили, что при $x = -x_0$ значение второй функции равно $y_0$. Это означает, что точка $B(-x_0, y_0)$ действительно лежит на графике функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

Поскольку для каждой произвольной точки на графике $y=2^x$ нашлась симметричная ей относительно оси ординат точка на графике $y=(\frac{1}{2})^x$, то графики этих функций симметричны относительно оси ординат.

Ответ: Доказано, что для функций $f(x) = 2^x$ и $g(x) = (\frac{1}{2})^x$ выполняется тождество $g(x) = f(-x)$, которое является условием симметрии графиков функций относительно оси ординат. Следовательно, их графики симметричны относительно этой оси.