Номер 663, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

663. Сравнить с единицей число:

1) $(0,1)^{\sqrt{2}}$;

2) $(3,5)^{0,1}$;

3) $\pi^{-2,7}$;

4) $\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{-1,2}$.

Для сравнения степенного выражения $a^x$ с единицей, нужно проанализировать основание $a$ и показатель степени $x$. Единицу можно представить как любое число (кроме нуля) в нулевой степени: $1 = a^0$.

Существуют два основных правила, основанных на свойствах монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, то функция $y=a^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции. Если $x > 0$, то $a^x > a^0$, то есть $a^x > 1$. Если $x < 0$, то $a^x < a^0$, то есть $a^x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция $y=a^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции. Если $x > 0$, то $a^x < a^0$, то есть $a^x < 1$. Если $x < 0$, то $a^x > a^0$, то есть $a^x > 1$.

Сравним с единицей число $(0,1)^{\sqrt{2}}$.
Основание степени $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей.
Показатель степени $x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то значение степени будет меньше единицы.
Сравниваем показатели: $\sqrt{2} > 0$. Для убывающей функции, это означает $(0,1)^{\sqrt{2}} < (0,1)^0$, то есть $(0,1)^{\sqrt{2}} < 1$.

Ответ: $(0,1)^{\sqrt{2}} < 1$.

Сравним с единицей число $(3,5)^{0,1}$.
Основание степени $a = 3,5$. Так как $3,5 > 1$, показательная функция с таким основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = 0,1$. Так как $0,1 > 0$, то значение степени будет больше единицы.
Сравниваем показатели: $0,1 > 0$. Для возрастающей функции, это означает $(3,5)^{0,1} > (3,5)^0$, то есть $(3,5)^{0,1} > 1$.

Ответ: $(3,5)^{0,1} > 1$.

Сравним с единицей число $\pi^{-2,7}$.
Основание степени $a = \pi$. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $a > 1$. Показательная функция с таким основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = -2,7$. Так как $-2,7 < 0$, то значение степени будет меньше единицы.
Сравниваем показатели: $-2,7 < 0$. Для возрастающей функции, это означает $\pi^{-2,7} < \pi^0$, то есть $\pi^{-2,7} < 1$.
Альтернативно, $\pi^{-2,7} = \frac{1}{\pi^{2,7}}$. Поскольку $\pi > 1$, то и $\pi^{2,7} > 1$. Значит, обратная дробь $\frac{1}{\pi^{2,7}}$ меньше 1.

Ответ: $\pi^{-2,7} < 1$.

Сравним с единицей число $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2}$.
Сначала проанализируем основание $a = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Упростим его: $a = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Следовательно, обратная величина $\frac{1}{\sqrt{5}} < 1$. Таким образом, основание $0 < a < 1$.
Показательная функция с основанием $a = \frac{\sqrt{5}}{5}$ является убывающей.
Показатель степени $x = -1,2$. Так как $-1,2 < 0$, то значение степени будет больше единицы.
Сравниваем показатели: $-1,2 < 0$. Для убывающей функции, это означает $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > (\frac{\sqrt{5}}{5})^0$, то есть $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > 1$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > 1$.