Номер 667, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

667. Решить графически неравенство:

1) $(\frac{1}{3})^x > 1;$

2) $(\frac{1}{2})^x < 1;$

3) $5^x > 5;$

4) $5^x > \frac{1}{5};$

5) $3^x \ge -1;$

6) $6^x < -2.$

1) Чтобы решить неравенство $(\frac{1}{3})^x > 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 1$. График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$, поскольку любое число в нулевой степени равно единице. График функции $y=1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через ту же точку $(0, 1)$. Таким образом, точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ находится выше графика функции $y=1$. Поскольку функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает, ее значения больше 1 при $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

2) Для решения неравенства $(\frac{1}{2})^x < 1$ построим графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = 1$. График $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция, так как основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. График проходит через точку $(0, 1)$. График $y=1$ — это горизонтальная прямая. Точка пересечения графиков находится из уравнения $(\frac{1}{2})^x = 1$, что дает $x=0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже прямой $y=1$. Так как функция убывающая, ее значения меньше 1 при $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) Чтобы решить неравенство $5^x > 5$ графически, построим графики функций $y = 5^x$ и $y = 5$. График $y = 5^x$ — это возрастающая показательная функция, так как основание $a=5 > 1$. График $y=5$ — это горизонтальная прямая. Найдем их точку пересечения из уравнения $5^x = 5$. Так как $5$ можно представить как $5^1$, получаем $x=1$. Точка пересечения — $(1, 5)$. Неравенство $5^x > 5$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y=5^x$ расположен выше прямой $y=5$. Так как функция возрастающая, это происходит при $x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) Для решения неравенства $5^x > \frac{1}{5}$ графически, построим графики функций $y = 5^x$ и $y = \frac{1}{5}$. График $y = 5^x$ — это возрастающая показательная функция. График $y=\frac{1}{5}$ — это горизонтальная прямая. Точка их пересечения находится из уравнения $5^x = \frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, получаем $5^x = 5^{-1}$, откуда $x=-1$. Неравенство выполняется, когда график $y=5^x$ находится выше прямой $y=\frac{1}{5}$. Поскольку функция $y=5^x$ возрастающая, это справедливо для всех $x$ правее точки пересечения, то есть при $x > -1$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

5) Чтобы решить неравенство $3^x \ge -1$ графически, построим графики функций $y = 3^x$ и $y = -1$. График $y = 3^x$ — это возрастающая показательная функция. Важное свойство этой функции заключается в том, что она принимает только положительные значения, то есть $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Область значений функции $y=3^x$ — это интервал $(0; +\infty)$. График $y=-1$ — это горизонтальная прямая, расположенная ниже оси абсцисс. Так как график $y=3^x$ всегда находится выше прямой $y=-1$ (поскольку любое положительное число больше любого отрицательного), неравенство $3^x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) Чтобы решить неравенство $6^x < -2$ графически, построим графики функций $y = 6^x$ и $y = -2$. График $y = 6^x$ — это возрастающая показательная функция. Область значений этой функции — $(0; +\infty)$, то есть $6^x$ всегда является положительным числом. График $y=-2$ — это горизонтальная прямая, которая лежит ниже оси абсцисс. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график $y=6^x$ находится ниже прямой $y=-2$. Поскольку $6^x$ всегда больше нуля, а $-2$ — отрицательное число, то не существует таких значений $x$, при которых $6^x$ было бы меньше $-2$. Графически это означает, что график $y=6^x$ никогда не пересекается с прямой $y=-2$ и целиком лежит выше неё. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет ( $x \in \varnothing$ ).