Страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

665. (Устно.) Решить уравнение:

1) $5^x = \frac{1}{5}$;

2) $7^x = 49$;

3) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \sqrt{3}$;

4) $\left(\frac{1}{7}\right)^x = \sqrt[3]{7}$.

1) $5^x = \frac{1}{5}$

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо представить обе его части в виде степени с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 5.

Правую часть уравнения, $\frac{1}{5}$, можно представить как степень с основанием 5, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$5^x = 5^{-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -1$

Ответ: $-1$

2) $7^x = 49$

Для решения этого уравнения представим обе части в виде степени с основанием 7.

Число 49 в правой части является второй степенью числа 7:

$49 = 7^2$

Подставим это значение в уравнение:

$7^x = 7^2$

Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Левую часть преобразуем, используя свойства степеней $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Правую часть преобразуем, используя определение корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4) $(\frac{1}{7})^x = \sqrt[3]{7}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7.

Левую часть преобразуем аналогично предыдущему примеру:

$(\frac{1}{7})^x = (7^{-1})^x = 7^{-x}$

Правую часть также преобразуем по определению корня:

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$

Подставляем преобразованные выражения в исходное уравнение:

$7^{-x} = 7^{\frac{1}{3}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-x = \frac{1}{3}$

Находим $x$:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

666. (Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1) $y = 0,3^{-x}$;

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{-x}$;

3) $y = 1,3^{-2x}$;

4) $y = 0,7^{-3x}$.

Для того чтобы выяснить, является ли показательная функция возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание. Функцию вида $y = a^{kx}$ можно представить в виде $y = (a^k)^x$. Назовем $b = a^k$ новым основанием.

• Если основание $b > 1$, то функция является возрастающей.
• Если $0 < b < 1$, то функция является убывающей.

Применим это правило к каждой из данных функций.

1) $y = 0,3^{-x}$

Преобразуем функцию, используя свойства степеней: $y = 0,3^{-x} = (0,3^{-1})^x$.

Найдем новое основание $b$: $b = 0,3^{-1} = \frac{1}{0,3} = \frac{10}{3}$.

Функция имеет вид $y = (\frac{10}{3})^x$. Так как основание $b = \frac{10}{3} \approx 3,33$, что больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

2) $y = (\frac{1}{7})^{-x}$

Преобразуем функцию: $y = (\frac{1}{7})^{-x} = ((\frac{1}{7})^{-1})^x$.

Найдем новое основание $b$: $b = (\frac{1}{7})^{-1} = 7$.

Функция имеет вид $y = 7^x$. Так как основание $b = 7$ больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = 1,3^{-2x}$

Преобразуем функцию: $y = 1,3^{-2x} = (1,3^{-2})^x$.

Найдем новое основание $b$: $b = 1,3^{-2} = \frac{1}{1,3^2} = \frac{1}{1,69}$.

Функция имеет вид $y = (\frac{1}{1,69})^x$. Так как основание $b = \frac{1}{1,69}$ меньше 1 (и больше 0), функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = 0,7^{-3x}$

Преобразуем функцию: $y = 0,7^{-3x} = (0,7^{-3})^x$.

Найдем новое основание $b$: $b = 0,7^{-3} = (\frac{7}{10})^{-3} = (\frac{10}{7})^3 = \frac{1000}{343}$.

Функция имеет вид $y = (\frac{1000}{343})^x$. Так как основание $b = \frac{1000}{343} \approx 2,915$, что больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

667. Решить графически неравенство:

1) $(\frac{1}{3})^x > 1;$

2) $(\frac{1}{2})^x < 1;$

3) $5^x > 5;$

4) $5^x > \frac{1}{5};$

5) $3^x \ge -1;$

6) $6^x < -2.$

1) Чтобы решить неравенство $(\frac{1}{3})^x > 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 1$. График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$, поскольку любое число в нулевой степени равно единице. График функции $y=1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через ту же точку $(0, 1)$. Таким образом, точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ находится выше графика функции $y=1$. Поскольку функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает, ее значения больше 1 при $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

2) Для решения неравенства $(\frac{1}{2})^x < 1$ построим графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = 1$. График $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция, так как основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. График проходит через точку $(0, 1)$. График $y=1$ — это горизонтальная прямая. Точка пересечения графиков находится из уравнения $(\frac{1}{2})^x = 1$, что дает $x=0$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже прямой $y=1$. Так как функция убывающая, ее значения меньше 1 при $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) Чтобы решить неравенство $5^x > 5$ графически, построим графики функций $y = 5^x$ и $y = 5$. График $y = 5^x$ — это возрастающая показательная функция, так как основание $a=5 > 1$. График $y=5$ — это горизонтальная прямая. Найдем их точку пересечения из уравнения $5^x = 5$. Так как $5$ можно представить как $5^1$, получаем $x=1$. Точка пересечения — $(1, 5)$. Неравенство $5^x > 5$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y=5^x$ расположен выше прямой $y=5$. Так как функция возрастающая, это происходит при $x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) Для решения неравенства $5^x > \frac{1}{5}$ графически, построим графики функций $y = 5^x$ и $y = \frac{1}{5}$. График $y = 5^x$ — это возрастающая показательная функция. График $y=\frac{1}{5}$ — это горизонтальная прямая. Точка их пересечения находится из уравнения $5^x = \frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, получаем $5^x = 5^{-1}$, откуда $x=-1$. Неравенство выполняется, когда график $y=5^x$ находится выше прямой $y=\frac{1}{5}$. Поскольку функция $y=5^x$ возрастающая, это справедливо для всех $x$ правее точки пересечения, то есть при $x > -1$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

5) Чтобы решить неравенство $3^x \ge -1$ графически, построим графики функций $y = 3^x$ и $y = -1$. График $y = 3^x$ — это возрастающая показательная функция. Важное свойство этой функции заключается в том, что она принимает только положительные значения, то есть $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Область значений функции $y=3^x$ — это интервал $(0; +\infty)$. График $y=-1$ — это горизонтальная прямая, расположенная ниже оси абсцисс. Так как график $y=3^x$ всегда находится выше прямой $y=-1$ (поскольку любое положительное число больше любого отрицательного), неравенство $3^x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) Чтобы решить неравенство $6^x < -2$ графически, построим графики функций $y = 6^x$ и $y = -2$. График $y = 6^x$ — это возрастающая показательная функция. Область значений этой функции — $(0; +\infty)$, то есть $6^x$ всегда является положительным числом. График $y=-2$ — это горизонтальная прямая, которая лежит ниже оси абсцисс. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график $y=6^x$ находится ниже прямой $y=-2$. Поскольку $6^x$ всегда больше нуля, а $-2$ — отрицательное число, то не существует таких значений $x$, при которых $6^x$ было бы меньше $-2$. Графически это означает, что график $y=6^x$ никогда не пересекается с прямой $y=-2$ и целиком лежит выше неё. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет ( $x \in \varnothing$ ).

668. Построить график функции:

1) $y = 3^x - 2$;

2) $y = (\frac{1}{2})^x + 3$;

3) $y = 2^{x+1}$;

4) $y = 3^{x-2}$.

1) $y = 3^x - 2$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графика базовой показательной функции.
1. Базовая функция. В качестве основы возьмем график функции $y_0 = 3^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Ее график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).
2. Преобразование. Исходная функция $y = 3^x - 2$ получается из базовой функции $y_0 = 3^x$ путем вычитания 2. Геометрически это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика базовой функции на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.
3. Горизонтальная асимптота. Асимптота базовой функции $y=0$ также сдвигается на 2 единицы вниз, поэтому для графика функции $y = 3^x - 2$ горизонтальной асимптотой будет прямая $y = -2$.
4. Ключевые точки. Найдем координаты некоторых точек, чтобы точнее построить график:
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• При $x=1$, $y = 3^1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=-1$, $y = 3^{-1} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$. Точка $(-1, -1\frac{2}{3})$.
• Точка пересечения с осью Ox: $y=0 \implies 3^x - 2 = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$. Точка $(\log_3 2, 0)$.
5. Построение. На координатной плоскости строим пунктирной линией асимптоту $y=-2$. Затем отмечаем вычисленные точки $(0, -1)$, $(1, 1)$ и $(\log_3 2, 0) \approx (0.63, 0)$ и соединяем их плавной кривой, которая возрастает и приближается к асимптоте при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 3^x - 2$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-2$. График возрастает и проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$

1. Базовая функция. Возьмем график функции $y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Так как основание $a=1/2$ находится в интервале $0 < a < 1$, это убывающая показательная функция. Ее график проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Преобразование. Исходная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$ получается из базовой функции $y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем прибавления 3. Геометрически это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.
3. Горизонтальная асимптота. Асимптота базовой функции $y=0$ также сдвигается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.
4. Ключевые точки.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = (\frac{1}{2})^0 + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x=-1$, $y = (\frac{1}{2})^{-1} + 3 = 2 + 3 = 5$. Точка $(-1, 5)$.
• При $x=1$, $y = (\frac{1}{2})^1 + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$. Точка $(1, 3.5)$.
5. Построение. Строим асимптоту $y=3$. Отмечаем точки $(0, 4)$, $(-1, 5)$, $(1, 3.5)$ и соединяем их плавной убывающей кривой, которая приближается к асимптоте при $x \to +\infty$. График полностью лежит выше асимптоты.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3$ — это график функции $y=(\frac{1}{2})^x$, сдвинутый на 3 единицы вверх. Горизонтальная асимптота — $y=3$. График убывает и проходит через точки $(0, 4)$ и $(-1, 5)$.

3) $y = 2^{x+1}$

1. Базовая функция. Возьмем график функции $y_0 = 2^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ с асимптотой $y=0$.
2. Преобразование. Исходная функция $y = 2^{x+1}$ получается из базовой функции $y_0 = 2^x$ заменой $x$ на $x+1$. Геометрически это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 1 единицу влево вдоль оси Ox.
3. Горизонтальная асимптота. Горизонтальный сдвиг не влияет на положение горизонтальной асимптоты, поэтому она остается $y=0$.
4. Ключевые точки.
• Точка $(0, 1)$ базового графика сдвигается влево на 1 и становится точкой $(0-1, 1) = (-1, 1)$.
• Точка $(1, 2)$ базового графика сдвигается и становится точкой $(1-1, 2) = (0, 2)$. Это точка пересечения с осью Oy.
• При $x=1$, $y = 2^{1+1} = 2^2 = 4$. Точка $(1, 4)$.
5. Построение. График проходит через вычисленные точки $(-1, 1)$, $(0, 2)$ и $(1, 4)$, возрастает и приближается к оси Ox при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 2^{x+1}$ — это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота — $y=0$. График возрастает и проходит через точки $(-1, 1)$ и $(0, 2)$.

4) $y = 3^{x-2}$

1. Базовая функция. Возьмем график функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через $(0, 1)$ с асимптотой $y=0$.
2. Преобразование. Исходная функция $y = 3^{x-2}$ получается из базовой функции $y_0 = 3^x$ заменой $x$ на $x-2$. Геометрически это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
3. Горизонтальная асимптота. Горизонтальный сдвиг не влияет на положение горизонтальной асимптоты, она остается $y=0$.
4. Ключевые точки.
• Точка $(0, 1)$ базового графика сдвигается вправо на 2 и становится точкой $(0+2, 1) = (2, 1)$.
• Точка $(1, 3)$ базового графика сдвигается и становится точкой $(1+2, 3) = (3, 3)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = 3^{0-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка $(0, \frac{1}{9})$.
5. Построение. График проходит через вычисленные точки $(0, 1/9)$, $(2, 1)$ и $(3, 3)$, возрастает и приближается к оси Ox при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 3^{x-2}$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Горизонтальная асимптота — $y=0$. График возрастает и проходит через точки $(2, 1)$ и $(0, 1/9)$.

669. Найти область определения функции:

1) $y = 5^{\frac{1}{x}}$;

2) $y = 7^{\sqrt{x-1}}$;

3) $y = 0,4^{\frac{1}{x-9}}$;

4) $y = 0,8^{\frac{1}{|x|-2}}$.

1) $y = 5^{\frac{1}{x}}$

Область определения показательной функции — это множество всех действительных чисел, для которых определен ее показатель. В данном случае показатель — это дробь $\frac{1}{x}$. Эта дробь определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x \neq 0$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

2) $y = 7^{\sqrt{x-1}}$

Показатель этой функции содержит квадратный корень $\sqrt{x-1}$. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:
$x-1 \geq 0$
$x \geq 1$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные 1.

Ответ: $D(y) = [1; +\infty)$

3) $y = 0,4^{\frac{1}{x-9}}$

Показатель этой функции — дробь $\frac{1}{x-9}$. Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, которые нужно исключить:
$x-9 \neq 0$
$x \neq 9$

Область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=9$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$

4) $y = 0,8^{\frac{1}{|x|-2}}$

Показатель функции — дробь $\frac{1}{|x|-2}$. Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

Решим уравнение, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$|x|-2 \neq 0$
$|x| \neq 2$

Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2 и -2.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$

670. Доказать, что графики функций $y = 2^x$ и $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ симметричны относительно оси ординат.

Для того чтобы доказать, что графики двух функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ симметричны относительно оси ординат (оси OY), необходимо показать, что для любого значения $x$ из их общей области определения выполняется равенство $g(x) = f(-x)$.

Доказательство:

В нашем случае даны две функции:
$f(x) = 2^x$
$g(x) = (\frac{1}{2})^x$

Областью определения обеих функций является множество всех действительных чисел ($D(f) = D(g) = \mathbb{R}$).

Найдем выражение для $f(-x)$. Для этого подставим $-x$ в функцию $f(x)$ вместо $x$:
$f(-x) = 2^{-x}$

Теперь преобразуем полученное выражение, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или, что то же самое, $a^{-k} = (a^{-1})^k$:
$f(-x) = 2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$

Сравнивая результат с функцией $g(x)$, мы видим, что:
$f(-x) = (\frac{1}{2})^x = g(x)$

Так как равенство $g(x) = f(-x)$ выполняется для всех $x$, это доказывает, что графики функций $y = 2^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$ симметричны относительно оси ординат.

Альтернативное доказательство (через точки):

Возьмем произвольную точку $A(x_0, y_0)$, принадлежащую графику функции $y = 2^x$. Это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению: $y_0 = 2^{x_0}$.

Точка $B$, симметричная точке $A$ относительно оси ординат, будет иметь координаты $(-x_0, y_0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $B$ графику функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Для этого подставим ее абсциссу $x = -x_0$ в уравнение второй функции:
$y = (\frac{1}{2})^{-x_0}$

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$y = (\frac{2}{1})^{x_0} = 2^{x_0}$

Поскольку мы изначально определили, что $y_0 = 2^{x_0}$, то мы получили, что при $x = -x_0$ значение второй функции равно $y_0$. Это означает, что точка $B(-x_0, y_0)$ действительно лежит на графике функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

Поскольку для каждой произвольной точки на графике $y=2^x$ нашлась симметричная ей относительно оси ординат точка на графике $y=(\frac{1}{2})^x$, то графики этих функций симметричны относительно оси ординат.

Ответ: Доказано, что для функций $f(x) = 2^x$ и $g(x) = (\frac{1}{2})^x$ выполняется тождество $g(x) = f(-x)$, которое является условием симметрии графиков функций относительно оси ординат. Следовательно, их графики симметричны относительно этой оси.

671. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2^x$ на отрезке $[-1; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2^x$ на отрезке $[-1; 2]$ необходимо проанализировать ее свойства.

Функция $y = 2^x$ является показательной. Основание степени $a = 2$, и так как $a > 1$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, на заданном отрезке наименьшее значение функция будет принимать в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение функции
Найдем значение функции в левой точке отрезка, при $x = -1$:
$y_{наим} = y(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Наибольшее значение функции
Найдем значение функции в правой точке отрезка, при $x = 2$:
$y_{наиб} = y(2) = 2^2 = 4$

Таким образом, на отрезке $[-1; 2]$ наименьшее значение функции $y = 2^x$ равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее — $4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, наибольшее значение равно $4$.

672. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 2^{|x|}$ на отрезке $[-1; 1];

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$ на отрезке $[-2; 1].

1) Дана функция $y = 2^{|x|}$ на отрезке $[-1; 1]$.

Основание степени $a=2$, и так как $a > 1$, то показательная функция $y = 2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции, а меньшему значению аргумента — меньшее значение функции. В нашем случае аргументом является $|x|$.

Следовательно, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y=2^{|x|}$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения выражения $|x|$ на отрезке $[-1; 1]$.

На отрезке $x \in [-1; 1]$:

• Наименьшее значение $|x|$ достигается при $x=0$ и равно $|0| = 0$.
• Наибольшее значение $|x|$ достигается на концах отрезка, при $x=-1$ и $x=1$, и равно $|-1| = |1| = 1$.

Теперь подставим эти значения в функцию:

Наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[-1; 1]$:

$y_{\text{наим}} = 2^0 = 1$.

Наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[-1; 1]$:

$y_{\text{наиб}} = 2^1 = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение функции равно 2.

2) Дана функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$ на отрезке $[-2; 1]$.

Основание степени $a=\frac{1}{2}$, и так как $0 < a < 1$, то показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции, а меньшему значению аргумента — большее значение функции.

Следовательно, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения выражения $|x|$ на отрезке $[-2; 1]$ и учесть, что зависимость обратная.

На отрезке $x \in [-2; 1]$:

• Наименьшее значение $|x|$ достигается при $x=0$ и равно $|0| = 0$.
• Наибольшее значение $|x|$ достигается в точке $x=-2$ и равно $|-2| = 2$. (В другой крайней точке отрезка, $x=1$, значение $|1|=1$, что меньше 2).

Теперь найдем значения функции:

Наибольшее значение функции $y$ будет при наименьшем значении $|x|$:

$y_{\text{наиб}} = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$.

Наименьшее значение функции $y$ будет при наибольшем значении $|x|$:

$y_{\text{наим}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, наибольшее значение функции равно 1.

673. Построить график функции:

1) $y = 2^{|x|};$

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|};$

3) $y = |3^x - 2|;$

4) $y = 2 - 3^x.$

1) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика функции $y = 2^{|x|}$ воспользуемся правилом построения графиков функций вида $y = f(|x|)$.

1. Сначала построим график базовой функции $y = 2^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$. Другие характерные точки: $(1, 2)$, $(2, 4)$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

2. Согласно правилу построения графика $y = f(|x|)$, мы должны:

• Оставить без изменений ту часть графика $y = f(x)$, которая соответствует значениям $x \ge 0$. В нашем случае, это часть графика $y = 2^x$ справа от оси Oy, включая точку $(0, 1)$.
• Отразить эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Это даст нам часть графика для $x < 0$.

Функция $y = 2^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

В результате мы получаем график, состоящий из двух ветвей. Обе ветви начинаются в точке $(0, 1)$, которая является точкой минимума функции. Правая ветвь совпадает с графиком $y = 2^x$ при $x \ge 0$. Левая ветвь является ее зеркальным отражением и совпадает с графиком $y = 2^{-x}$ (или $y = (\frac{1}{2})^x$) при $x < 0$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума $(0, 1)$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=2^x$, а для $x < 0$ - с графиком $y=2^{-x}$.

2) $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$

Построение этого графика аналогично предыдущему пункту, так как функция имеет вид $y = f(|x|)$, где $f(x) = (\frac{1}{3})^x$.

1. Сначала строим график базовой функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция, так как основание $1/3$ меньше 1. Она проходит через точку $(0, 1)$. Другие характерные точки: $(1, 1/3)$, $(-1, 3)$. При $x \to \infty$, $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

2. Применяем правило построения графика $y = f(|x|)$:

• Оставляем часть графика $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$. Эта ветвь начинается в точке $(0, 1)$ и убывает, приближаясь к оси Ox.
• Отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Так как функция $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$ четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

Итоговый график имеет "шапку" в точке $(0, 1)$, которая является точкой максимума. Обе ветви графика симметрично убывают при $|x| \to \infty$, асимптотически приближаясь к оси Ox ($y=0$).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку максимума $(0, 1)$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=(\frac{1}{3})^x$, а для $x < 0$ - с графиком $y=3^x$.

3) $y = |3^x - 2|$

Для построения графика функции $y = |3^x - 2|$ воспользуемся правилом построения графиков функций вида $y = |f(x)|$. Для этого сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 3^x - 2$.

1. Строим график функции $y = 3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ с горизонтальной асимптотой $y=0$.

2. Сдвигаем график $y = 3^x$ на 2 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график $y_1 = 3^x - 2$.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=-2$.
• Точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, -1)$, которая является точкой пересечения с осью Oy.
• Найдем точку пересечения с осью Ox: $3^x - 2 = 0 \Rightarrow 3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$. Точка пересечения: $(\log_3 2, 0)$.

3. Теперь применяем операцию взятия модуля: $y = |3^x - 2|$.

• Часть графика $y_1 = 3^x - 2$, которая находится выше или на оси Ox (при $x \ge \log_3 2$), остается без изменений.
• Часть графика, которая находится ниже оси Ox (при $x < \log_3 2$), отражается симметрично относительно оси Ox.

В результате отражения точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=-2$ (при $x \to -\infty$) отражается в горизонтальную асимптоту $y=2$. Точка $(\log_3 2, 0)$ становится точкой "излома" (точкой минимума).

Ответ: График получается из графика $y=3^x-2$ отражением его отрицательной части относительно оси Ox. График имеет точку минимума (излом) в точке $(\log_3 2, 0)$, пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.

4) $y = 2 - 3^x$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = 3^x$. Функцию можно переписать в виде $y = -3^x + 2$.

1. Строим график базовой функции $y = 3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через $(0, 1)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.

2. Отражаем график $y = 3^x$ симметрично относительно оси Ox. Получаем график функции $y = -3^x$. Теперь функция убывающая, проходит через точку $(0, -1)$, асимптота остается $y=0$. График полностью лежит ниже оси Ox.

3. Сдвигаем полученный график $y = -3^x$ на 2 единицы вверх по оси Oy. Получаем искомый график $y = -3^x + 2$.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=2$.
• Точка $(0, -1)$ смещается в точку $(0, 1)$, которая является точкой пересечения с осью Oy.
• Найдем точку пересечения с осью Ox: $2 - 3^x = 0 \Rightarrow 3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$. Точка пересечения: $(\log_3 2, 0)$.

Итоговый график - это монотонно убывающая функция. При $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к прямой $y=2$ сверху. При $x \to \infty$ график уходит в $-\infty$.

Ответ: График является убывающей функцией, пересекает оси координат в точках $(0, 1)$ и $(\log_3 2, 0)$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.

674. Световой фильтр толщиной 1 см пропускает 75% света. Какая часть света пройдёт через фильтр, сделанный из того же стекла, имеющего толщину $m$ см?

Для решения этой задачи воспользуемся законом поглощения света (законом Бугера-Ламберта-Бера). Согласно этому закону, при прохождении света через однородную среду интенсивность света уменьшается экспоненциально в зависимости от толщины слоя вещества.

Пусть $I_0$ — это начальная интенсивность света, падающего на фильтр.Пусть $I(x)$ — это интенсивность света, прошедшего через фильтр толщиной $x$.Зависимость интенсивности от толщины можно выразить формулой:$I(x) = I_0 \cdot q^x$где $q$ — это коэффициент пропускания, то есть доля света, которая проходит через слой вещества единичной толщины (в данном случае, 1 см).

Из условия задачи нам известно, что фильтр толщиной $x = 1$ см пропускает 75% света. Это означает, что интенсивность света после прохождения фильтра составляет 0,75 от начальной:$I(1) = 0.75 \cdot I_0$

Подставим это значение в нашу формулу, чтобы найти коэффициент пропускания $q$:$I(1) = I_0 \cdot q^1 = I_0 \cdot q$$0.75 \cdot I_0 = I_0 \cdot q$Разделив обе части на $I_0$, получим:$q = 0.75$

Теперь нам нужно определить, какая часть света пройдет через фильтр из того же стекла, но с толщиной $m$ см. Искомая часть света — это отношение интенсивности света, прошедшего через фильтр, к начальной интенсивности, то есть $\frac{I(m)}{I_0}$.

Используем нашу формулу для толщины $m$:$I(m) = I_0 \cdot q^m$Подставим найденное значение $q = 0.75$:$I(m) = I_0 \cdot (0.75)^m$

Чтобы найти часть света, которая пройдет через фильтр, разделим $I(m)$ на $I_0$:$\frac{I(m)}{I_0} = \frac{I_0 \cdot (0.75)^m}{I_0} = (0.75)^m$

Это означает, что через фильтр толщиной $m$ см пройдет часть света, равная $(0.75)^m$. Это значение можно также представить в виде обыкновенной дроби, так как $0.75 = \frac{3}{4}$.

Ответ: $(0.75)^m$ или $(\frac{3}{4})^m$.

675. При радиоактивном распаде количество некоторого вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? через 3,5 суток? Вычисления провести на микрокалькуляторе.

Для решения задачи используется формула радиоактивного распада, которая описывает экспоненциальное уменьшение количества вещества со временем:

$m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $m(t)$ — масса вещества, оставшаяся через время $t$, $m_0$ — начальная масса вещества, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Начальная масса $m_0 = 250$ г.
• Период полураспада $T_{1/2} = 1$ сутки, поскольку по условию количество вещества уменьшается вдвое за сутки.

Подставив известные значения в формулу, получим уравнение для нашего случая:

$m(t) = 250 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1}} = 250 \cdot (\frac{1}{2})^t$

Это уравнение можно также записать в виде:

$m(t) = 250 \cdot 2^{-t}$

Теперь мы можем рассчитать количество вещества для заданных промежутков времени.

через 1,5 суток

Необходимо найти массу вещества, которая останется через $t = 1,5$ суток. Подставим это значение в наше уравнение:

$m(1,5) = 250 \cdot 2^{-1,5}$

Используя калькулятор для вычислений, как указано в условии, получим:

$m(1,5) = \frac{250}{2^{1,5}} \approx \frac{250}{2,828427} \approx 88,388$ г.

Округляя результат до сотых, получаем 88,39 г.

Ответ: через 1,5 суток останется примерно 88,39 г вещества.

через 3,5 суток

Необходимо найти массу вещества, которая останется через $t = 3,5$ суток. Подставим это значение в наше уравнение:

$m(3,5) = 250 \cdot 2^{-3,5}$

Используя калькулятор для вычислений, получим:

$m(3,5) = \frac{250}{2^{3,5}} \approx \frac{250}{11,313708} \approx 22,097$ г.

Округляя результат до сотых, получаем 22,10 г.

Ответ: через 3,5 суток останется примерно 22,10 г вещества.

676. На некотором лесном участке можно заготовить $4 \cdot 10^5 \text{ м}^3$ древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет? Вычисления провести на микрокалькуляторе.

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов, так как каждый год объем древесины увеличивается на 4% от своего текущего значения, а не от первоначального.

Определим исходные данные:

• Начальный объем древесины ($V_0$): $4 \cdot 10^5 \text{ м}^3$.
• Ежегодный процентный прирост ($p$): $4\%$. Для расчетов переведем его в десятичную дробь: $r = \frac{4}{100} = 0.04$.
• Период времени ($n$): $5$ лет.

Формула для нахождения конечного объема ($V_n$) через $n$ лет при ежегодном приросте имеет вид:

$V_n = V_0 \cdot (1 + r)^n$

Подставим наши значения в эту формулу, чтобы найти объем древесины через 5 лет ($V_5$):

$V_5 = (4 \cdot 10^5) \cdot (1 + 0.04)^5$

$V_5 = (4 \cdot 10^5) \cdot (1.04)^5$

Теперь проведем вычисления, как указано в условии, на микрокалькуляторе.

Сначала вычислим значение $(1.04)^5$:

$(1.04)^5 = 1.04 \times 1.04 \times 1.04 \times 1.04 \times 1.04 \approx 1.2166529024$

Далее, умножим полученное значение на начальный объем древесины, который равен $4 \cdot 10^5 = 400000$:

$V_5 = 400000 \cdot 1.2166529024 = 486661.16096 \text{ м}^3$

Ответ: через 5 лет на этом участке можно будет заготовить $486661.16096 \text{ м}^3$ древесины.

677. Население Земли в 2000 г. составляло 6 млрд человек. Можно считать, что оно удваивается каждые 35 лет.

Записать формулу для подсчёта населения нашей планеты P (в млрд человек) в условном x-м году. Вычислить население Земли к 2020 г.

Записать формулу для подсчёта населения нашей планеты P (в млрд человек) в условном x-м году.

Для решения задачи используется модель экспоненциального роста, так как население удваивается за постоянный промежуток времени. Общая формула для такого роста выглядит следующим образом:$P(t) = P_0 \cdot b^{\frac{t}{T}}$

В данной формуле:
$P_0$ — это начальное население. По условию, в 2000 году оно составляло 6 млрд человек, поэтому $P_0 = 6$.
$b$ — это коэффициент роста. Поскольку население удваивается, $b = 2$.
$T$ — это период удвоения. По условию, $T = 35$ лет.
$t$ — это количество лет, прошедших с начального момента (2000 года). Для произвольного года $x$, это время вычисляется как $t = x - 2000$.

Подставляя эти значения в общую формулу, мы получаем искомую формулу для расчёта населения $P$ (в миллиардах человек) в году $x$:

$P(x) = 6 \cdot 2^{\frac{x-2000}{35}}$

Ответ: Формула для подсчёта населения: $P(x) = 6 \cdot 2^{\frac{x-2000}{35}}$, где $P$ — население в млрд человек, а $x$ — год.

Вычислить население Земли к 2020 г.

Чтобы найти население к 2020 году, подставим $x = 2020$ в выведенную ранее формулу:

$P(2020) = 6 \cdot 2^{\frac{2020-2000}{35}}$

Сначала вычислим значение показателя степени:

$\frac{2020-2000}{35} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$

Теперь формула для населения в 2020 году выглядит так:

$P(2020) = 6 \cdot 2^{\frac{4}{7}}$

Для дальнейшего расчёта воспользуемся калькулятором, чтобы найти значение $2^{\frac{4}{7}}$:

$2^{\frac{4}{7}} \approx 2^{0.5714} \approx 1.486$

Теперь умножим полученное значение на 6:

$P(2020) \approx 6 \cdot 1.486 \approx 8.916$

Округляя результат до сотых, получаем, что население Земли к 2020 году, согласно данной модели, составит примерно 8,92 млрд человек.

Ответ: Население Земли к 2020 году составит примерно 8,92 млрд человек.