Страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

686. 1) $3^{x^2+x-12} = 1$

2) $2^{x^2-7x+10} = 1$

3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$

4) $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$

1) Дано показательное уравнение $3^{x^2+x-12} = 1$.
Чтобы решить это уравнение, представим число 1 как степень с основанием 3. Мы знаем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
Получаем уравнение: $3^{x^2+x-12} = 3^0$
Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $x^2 + x - 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -4$.

2) Дано показательное уравнение $2^{x^2-7x+10} = 1$.
Аналогично предыдущему примеру, представим 1 как степень с основанием 2: $1 = 2^0$. $2^{x^2-7x+10} = 2^0$
Приравниваем показатели степеней: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 10. $x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 10$
Этими числами являются 2 и 5.
$x_1 = 2$, $x_2 = 5$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 5$.

3) Дано показательное уравнение $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$.
Для начала приведем обе части уравнения к одному основанию, которым будет 2. Число 4 можно представить как $2^2$. $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 2^2$
Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $\frac{x-1}{x-2} = 2$
Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.
Для решения уравнения умножим обе его части на $(x-2)$: $x - 1 = 2(x - 2)$
$x - 1 = 2x - 4$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой: $4 - 1 = 2x - x$
$3 = x$
Полученный корень $x=3$ не противоречит ОДЗ ($3 \neq 2$), поэтому он является решением уравнения.
Ответ: $x = 3$.

4) Дано показательное уравнение $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$.
Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к 2. $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
$4 = 2^2$
Подставляем эти выражения в исходное уравнение: $(2^{-1})^{\frac{1}{x}} = (2^2)^{\frac{1}{x+1}}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x+1}}$
Приравниваем показатели степеней: $-\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$
ОДЗ для этого уравнения: знаменатели не должны равняться нулю, то есть $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$ (откуда $x \neq -1$).
Решим полученное уравнение методом перекрестного умножения: $-1 \cdot (x+1) = 2 \cdot x$
$-x - 1 = 2x$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Корень $x = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{3} \neq 0$ и $-\frac{1}{3} \neq -1$).
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

687.1) $0.3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 1;$

2) $\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^2 - 2x + 3} = 1;$

3) $5.1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5.1\sqrt{5.1};$

4) $2^{2x^2 + 5x - 4} = 0.5.$

1)

Исходное уравнение: $0,3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 1$.
Любое число (кроме 0 и 1), возведенное в нулевую степень, равно единице. Представим 1 как $0,3^0$, так как основание в левой части равно 0,3.
$0,3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 0,3^0$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$
Для решения этого кубического уравнения сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Первый случай: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Второй случай: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.
Ответ: 1.

2)

Исходное уравнение: $(2\frac{1}{3})^{-x^2 - 2x + 3} = 1$.
Основание степени $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ не равно 1. Следовательно, чтобы выражение равнялось 1, показатель степени должен быть равен нулю.
$-x^2 - 2x + 3 = 0$
Умножим все члены уравнения на -1, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Корни уравнения: 1 и -3.
Ответ: -3; 1.

3)

Исходное уравнение: $5,1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5,1\sqrt{5,1}$.
Преобразуем правую часть уравнения, чтобы представить ее в виде степени с основанием 5,1. Используем свойства степеней: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5,1\sqrt{5,1} = 5,1^1 \cdot 5,1^{\frac{1}{2}} = 5,1^{1 + \frac{1}{2}} = 5,1^{\frac{3}{2}}$
Теперь уравнение выглядит так:
$5,1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5,1^{\frac{3}{2}}$
Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:
$\frac{1}{2}(x-3) = \frac{3}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$x - 3 = 3$
Перенесем -3 в правую часть:
$x = 3 + 3 = 6$
Ответ: 6.

4)

Исходное уравнение: $2^{2x^2 + 5x - 4} = 0,5$.
Представим число 0,5 в виде степени с основанием 2.
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^{2x^2 + 5x - 4} = 2^{-1}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$2x^2 + 5x - 4 = -1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 4 + 1 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
Корни уравнения: 0,5 и -3.
Ответ: -3; 0,5.

688. 1) $10^x = \sqrt[3]{100};$

2) $10^x = \sqrt[5]{10\,000};$

3) $225^{2x^2-24} = 15;$

4) $10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}};$

5) $(\sqrt{10})^x = 10^{x^2-x};$

6) $100^{x^2-1} = 10^{1-5x}.$

1) Для решения уравнения $10^x = \sqrt[3]{100}$ необходимо привести правую часть к основанию 10.
Мы знаем, что $100 = 10^2$. Тогда $\sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{10^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$, получаем: $\sqrt[3]{10^2} = 10^{2/3}$.
Теперь уравнение имеет вид: $10^x = 10^{2/3}$.
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны.
$x = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Для решения уравнения $10^x = \sqrt[5]{10\,000}$ приведем правую часть к основанию 10.
Мы знаем, что $10\,000 = 10^4$. Тогда $\sqrt[5]{10\,000} = \sqrt[5]{10^4}$.
Используя свойство корня, получаем: $\sqrt[5]{10^4} = 10^{4/5}$.
Уравнение принимает вид: $10^x = 10^{4/5}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$.
$x = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

3) Для решения уравнения $225^{2x^2-24} = 15$ приведем обе части к одному основанию.
Заметим, что $225 = 15^2$.
Подставим это в уравнение: $(15^2)^{2x^2-24} = 15^1$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть: $15^{2(2x^2-24)} = 15^{4x^2-48}$.
Теперь уравнение выглядит так: $15^{4x^2-48} = 15^1$.
Приравниваем показатели степеней: $4x^2 - 48 = 1$.
Решаем полученное квадратное уравнение:
$4x^2 = 49$
$x^2 = \frac{49}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{49}{4}} = \pm\frac{7}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{7}{2}$.

4) Для решения уравнения $10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}}$ преобразуем правую часть.
Сначала упростим знаменатель: $\sqrt[4]{10\,000} = \sqrt[4]{10^4} = 10^1 = 10$.
Тогда правая часть уравнения равна $\frac{1}{10}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, запишем $\frac{1}{10}$ как $10^{-1}$.
Уравнение принимает вид: $10^x = 10^{-1}$.
Следовательно, $x = -1$.
Ответ: $-1$.

5) Для решения уравнения $(\sqrt{10})^x = 10^{x^2-x}$ приведем обе части к основанию 10.
Левая часть: $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$.
Уравнение принимает вид: $10^{x/2} = 10^{x^2-x}$.
Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = x^2 - x$.
Решим полученное уравнение. Умножим обе части на 2:
$x = 2(x^2 - x)$
$x = 2x^2 - 2x$
$2x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $2x - 3 = 0$, откуда $x_2 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $0; \frac{3}{2}$.

6) Для решения уравнения $100^{x^2-1} = 10^{1-5x}$ приведем левую часть к основанию 10.
Так как $100 = 10^2$, то $(10^2)^{x^2-1} = 10^{2(x^2-1)} = 10^{2x^2-2}$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x^2-2} = 10^{1-5x}$.
Приравниваем показатели степеней: $2x^2 - 2 = 1 - 5x$.
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 2 - 1 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Решаем уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Ответ: $-3; \frac{1}{2}$.

689. 1) $2^{x^2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8};$

2) $5^{0,1x} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-0,06} = 5^{x^2};$

3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x};$

4) $0,7^{\sqrt{x+12}} \cdot 0,7^{-2} = 0,7^{\sqrt{x}}.$

1) Для решения уравнения $2^{x^2} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8}$ приведем все его части к единому основанию 2.
Представим $(\frac{1}{2})$ как $2^{-1}$ и $\sqrt[4]{8}$ как $\sqrt[4]{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$.
Уравнение примет вид:
$2^{x^2} \cdot (2^{-1})^{\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2^{x^2} \cdot 2^{-\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{x^2 - \frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^2 - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4x^2 - x = 3$
$4x^2 - x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$
Ответ: $1; -0,75$.

2) Для решения уравнения $5^{0,1x} \cdot (\frac{1}{5})^{-0,06} = 5^{x^2}$ приведем все его части к основанию 5.
Представим $(\frac{1}{5})$ как $5^{-1}$.
Уравнение примет вид:
$5^{0,1x} \cdot (5^{-1})^{-0,06} = 5^{x^2}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{0,1x} \cdot 5^{0,06} = 5^{x^2}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в левой части:
$5^{0,1x + 0,06} = 5^{x^2}$
Приравниваем показатели степеней:
$0,1x + 0,06 = x^2$
Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$x^2 - 0,1x - 0,06 = 0$
Умножим уравнение на 100 для удобства вычислений:
$100x^2 - 10x - 6 = 0$
Сократим все члены уравнения на 2:
$50x^2 - 5x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-3) = 25 + 600 = 625 = 25^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 25}{2 \cdot 50} = \frac{30}{100} = 0,3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 25}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -0,2$
Ответ: $0,3; -0,2$.

3) В уравнении $(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{2x}$ все степени уже имеют одинаковое основание $(\frac{1}{2})$.
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ к левой части:
$(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x} - 1} = (\frac{1}{2})^{2x}$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{1-x} - 1 = 2x$
Изолируем корень:
$\sqrt{1-x} = 2x + 1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. Во-вторых, результат извлечения квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0,5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-0,5; 1]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1-x})^2 = (2x + 1)^2$
$1 - x = 4x^2 + 4x + 1$
Приведем подобные члены:
$4x^2 + 5x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(4x + 5) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $4x_2 + 5 = 0 \implies x_2 = -1,25$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ:
$x_1 = 0$ входит в промежуток $[-0,5; 1]$.
$x_2 = -1,25$ не входит в промежуток $[-0,5; 1]$, следовательно, это посторонний корень.
Единственным решением является $x=0$.
Ответ: $0$.

4) В уравнении $0,7^{\sqrt{x+12}} \cdot 0,7^{-2} = 0,7^{\sqrt{x}}$ все степени имеют одинаковое основание 0,7.
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ к левой части:
$0,7^{\sqrt{x+12} - 2} = 0,7^{\sqrt{x}}$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{x+12} - 2 = \sqrt{x}$
Изолируем один из корней:
$\sqrt{x+12} = \sqrt{x} + 2$
Определим ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x+12 \ge 0 \implies x \ge -12$ и $x \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+12})^2 = (\sqrt{x} + 2)^2$
$x + 12 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + 2^2$
$x + 12 = x + 4\sqrt{x} + 4$
Упростим уравнение:
$12 = 4\sqrt{x} + 4$
$8 = 4\sqrt{x}$
$2 = \sqrt{x}$
Возведем обе части в квадрат еще раз:
$4 = x$
Проверим найденный корень $x=4$ на соответствие ОДЗ. Так как $4 \ge 0$, корень подходит.
Ответ: $4$.

690. 1) $7^x - 7^{x-1} = 6;$

2) $3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315;$

3) $5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140;$

4) $2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0.$

1) Исходное уравнение: $7^x - 7^{x-1} = 6$.
Воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Перепишем $7^{x-1}$ как $7^x \cdot 7^{-1}$ или $\frac{7^x}{7}$.
Уравнение примет вид: $7^x - \frac{7^x}{7} = 6$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$
Упростим выражение в скобках:
$1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$
Чтобы найти $7^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{6}{7}$:
$7^x = 6 \div \frac{6}{7} = 6 \cdot \frac{7}{6} = 7$
Получили уравнение $7^x = 7$. Так как $7 = 7^1$, то можем приравнять показатели степеней:
$x = 1$
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315$.
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2y-4}$.
Для этого представим каждый член уравнения в виде произведения с $3^{2y-4}$:
$3^{2y-1} = 3^{(2y-4)+3} = 3^{2y-4} \cdot 3^3$
$3^{2y-2} = 3^{(2y-4)+2} = 3^{2y-4} \cdot 3^2$
Уравнение примет вид:
$3^{2y-4} \cdot 3^3 + 3^{2y-4} \cdot 3^2 - 3^{2y-4} = 315$
Вынесем $3^{2y-4}$ за скобки:
$3^{2y-4} (3^3 + 3^2 - 1) = 315$
Вычислим значение в скобках:
$27 + 9 - 1 = 35$
Получаем уравнение:
$3^{2y-4} \cdot 35 = 315$
Разделим обе части уравнения на 35:
$3^{2y-4} = \frac{315}{35} = 9$
Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.
$3^{2y-4} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$2y - 4 = 2$
$2y = 6$
$y = 3$
Ответ: $3$.

3) Исходное уравнение: $5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$.
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{3x-2}$.
Представим $5^{3x}$ как $5^{(3x-2)+2} = 5^{3x-2} \cdot 5^2$.
Уравнение примет вид:
$5^{3x-2} \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$
Вынесем $5^{3x-2}$ за скобки:
$5^{3x-2} (5^2 + 3) = 140$
Вычислим значение в скобках:
$25 + 3 = 28$
Получаем уравнение:
$5^{3x-2} \cdot 28 = 140$
Разделим обе части уравнения на 28:
$5^{3x-2} = \frac{140}{28} = 5$
Так как $5 = 5^1$, получаем уравнение $5^{3x-2} = 5^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$3x - 2 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.
Представим все показательные члены через $2^x$:
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cdot 2^x + 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2^x\right) - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$
$2 \cdot 2^x + \frac{3}{2} \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$
Для упрощения введем замену: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение с новой переменной:
$2t + \frac{3}{2}t - 5t + 6 = 0$
Сгруппируем члены с $t$ и перенесем свободный член в правую часть:
$t \left(2 + \frac{3}{2} - 5\right) = -6$
Вычислим значение в скобках:
$2 + 1.5 - 5 = 3.5 - 5 = -1.5 = -\frac{3}{2}$
Получаем уравнение:
$t \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6$
Найдем $t$:
$t = -6 \div \left(-\frac{3}{2}\right) = -6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 4$
Значение $t=4$ удовлетворяет условию $t>0$.
Вернемся к исходной переменной:
$2^x = t \Rightarrow 2^x = 4$
Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.
$2^x = 2^2$
Следовательно, $x = 2$.
Ответ: $2$.

691.1) $7^{x-2} = 3^{2-x}$;

2) $2^{x-3} = 3^{3-x}$;

3) $3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$;

4) $4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$.

1)

Дано показательное уравнение $7^{x-2} = 3^{2-x}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$7^{x-2} = \frac{1}{3^{x-2}}$

Умножим обе части уравнения на $3^{x-2}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):

$7^{x-2} \cdot 3^{x-2} = 1$

Воспользуемся свойством степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для левой части:

$(7 \cdot 3)^{x-2} = 1$

$21^{x-2} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем представить $1$ как $21^0$.

$21^{x-2} = 21^0$

Поскольку основания степеней одинаковы и не равны 1, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

2)

Дано показательное уравнение $2^{x-3} = 3^{3-x}$.

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Преобразуем показатель степени в правой части: $3-x = -(x-3)$.

$3^{3-x} = 3^{-(x-3)} = \frac{1}{3^{x-3}}$

Подставим это в уравнение:

$2^{x-3} = \frac{1}{3^{x-3}}$

Умножим обе части на $3^{x-3}$:

$2^{x-3} \cdot 3^{x-3} = 1$

Объединим основания степеней в левой части:

$(2 \cdot 3)^{x-3} = 1$

$6^{x-3} = 1$

Представим $1$ как $6^0$:

$6^{x-3} = 6^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

3)

Дано уравнение $3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$.

Заметим, что если показатель степени $x+2$ равен нулю, то обе части уравнения станут равны 1 (поскольку $a^0=1$ для $a \neq 0$).

Пусть $x+2=0$, тогда $x=-2$. Сделаем проверку, подставив это значение в исходное уравнение:

$3^{\frac{-2+2}{4}} = 5^{-2+2}$

$3^{\frac{0}{4}} = 5^0$

$3^0 = 5^0$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, $x=-2$ является корнем уравнения.

Чтобы убедиться, что других корней нет, преобразуем уравнение. Разделим обе части уравнения на $5^{x+2}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{3^{\frac{x+2}{4}}}{5^{x+2}} = 1$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем числитель:

$3^{\frac{x+2}{4}} = 3^{\frac{1}{4} \cdot (x+2)} = (3^{\frac{1}{4}})^{x+2} = (\sqrt[4]{3})^{x+2}$

Уравнение примет вид:

$\frac{(\sqrt[4]{3})^{x+2}}{5^{x+2}} = 1$

Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{\sqrt[4]{3}}{5})^{x+2} = 1$

Показательное уравнение вида $a^y=1$ (где $a>0$ и $a \neq 1$) имеет единственное решение $y=0$. В нашем случае основание $\frac{\sqrt[4]{3}}{5} \neq 1$.

Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$x+2=0$

$x=-2$

Ответ: $x=-2$.

4)

Дано уравнение $4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойства степеней.
Левая часть: $4^{\frac{x-3}{2}} = (2^2)^{\frac{x-3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x-3}{2}} = 2^{x-3}$.
Правая часть: $3^{2(x-3)} = (3^2)^{x-3} = 9^{x-3}$.

Теперь уравнение имеет более простой вид:

$2^{x-3} = 9^{x-3}$

Разделим обе части уравнения на $9^{x-3}$ (это выражение всегда положительно):

$\frac{2^{x-3}}{9^{x-3}} = 1$

Применим свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{2}{9})^{x-3} = 1$

Так как основание степени $\frac{2}{9}$ не равно 1, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю.

$x-3=0$

$x=3$

Проверим найденный корень:

$4^{\frac{3-3}{2}} = 3^{2(3-3)}$

$4^0 = 3^0$

$1=1$

Равенство верное.

Ответ: $x=3$.

692. 1) $(0,5)^{x^2 - 4x + 3} = (0,5)^{2x^2 + x + 3}$;

2) $(0,1)^{3 + 2x} = (0,1)^{2 - x^2}$;

3) $3^{\sqrt{x - 6}} = 3^x$;

4) $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{\sqrt{2 - x}}$

1) $(0,5)^{x^2 - 4x + 3} = (0,5)^{2x^2 + x + 3}$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (0,5), мы можем приравнять их показатели:
$x^2 - 4x + 3 = 2x^2 + x + 3$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 + x + 4x + 3 - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$
или
$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $-5; 0$.

2) $(0,1)^{3 + 2x} = (0,1)^{2 - x^2}$
Основания степеней равны (0,1), поэтому приравниваем показатели:
$3 + 2x = 2 - x^2$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$x^2 + 2x + 3 - 2 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Свернем левую часть уравнения по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 1)^2 = 0$
Из этого следует, что:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1$.

3) $3^{\sqrt{x-6}} = 3^x$
Так как основания степеней равны (3), приравниваем их показатели:
$\sqrt{x-6} = x$
Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 6 \ge 0$, что дает $x \ge 6$.
2. Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения $x$ также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x-6})^2 = x^2$
$x - 6 = x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - x + 6 = 0$
Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

4) $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{\sqrt{2-x}}$
Основания степеней равны ($\frac{1}{3}$), поэтому приравниваем показатели:
$x = \sqrt{2-x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
2. Левая часть уравнения $x$ равна значению арифметического корня, значит, она должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Совмещая условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{2-x})^2$
$x^2 = 2 - x$
Переносим все члены в одну сторону:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма равна -1. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Либо через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$
Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$):
- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$.
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Этот корень является посторонним, появившимся в результате возведения в квадрат.
Таким образом, решением является только $x=1$.
Ответ: $1$.

693. 1) $3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x;$

2) $3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3},$

3) $2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11;$

4) $2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^{x-1} = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}.$

1) $3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести общие множители в левой и правой частях уравнения.

В левой части: $3^x \cdot 3^3 + 3^x = 3^x(3^3 + 1) = 3^x(27 + 1) = 28 \cdot 3^x$.

В правой части: $7^x \cdot 7^1 + 5 \cdot 7^x = 7^x(7 + 5) = 12 \cdot 7^x$.

Получаем уравнение: $28 \cdot 3^x = 12 \cdot 7^x$.

Разделим обе части на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ при любом $x$):

$28 \cdot \frac{3^x}{7^x} = 12$

$28 \cdot (\frac{3}{7})^x = 12$

Разделим обе части на 28:

$(\frac{3}{7})^x = \frac{12}{28}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{12}{28} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{3}{7}$

Получаем простое показательное уравнение:

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: 1

2) $3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$3^{x+4} - 3^{x+3} = 5^{x+4} - 3 \cdot 5^{x+3}$

Вынесем за скобки общие множители, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

В левой части: $3^{x+3} \cdot 3^1 - 3^{x+3} = 3^{x+3}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{x+3}$.

В правой части: $5^{x+3} \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+3}(5 - 3) = 2 \cdot 5^{x+3}$.

Уравнение принимает вид:

$2 \cdot 3^{x+3} = 2 \cdot 5^{x+3}$

Разделим обе части на 2:

$3^{x+3} = 5^{x+3}$

Разделим обе части на $5^{x+3}$ (так как $5^{x+3} > 0$):

$\frac{3^{x+3}}{5^{x+3}} = 1$

$(\frac{3}{5})^{x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю:

$x+3 = 0$

$x = -3$

Ответ: -3

3) $2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{8-x} - 11 \cdot 2^{3-x} = 7^{4-x} - 7^{3-x}$

Вынесем за скобки общие множители. В левой части вынесем $2^{3-x}$, а в правой $7^{3-x}$.

В левой части: $2^{5} \cdot 2^{3-x} - 11 \cdot 2^{3-x} = 2^{3-x}(2^5 - 11) = 2^{3-x}(32 - 11) = 21 \cdot 2^{3-x}$.

В правой части: $7^{1} \cdot 7^{3-x} - 7^{3-x} = 7^{3-x}(7 - 1) = 6 \cdot 7^{3-x}$.

Уравнение принимает вид:

$21 \cdot 2^{3-x} = 6 \cdot 7^{3-x}$

Разделим обе части на $7^{3-x}$ (так как $7^{3-x} > 0$):

$21 \cdot \frac{2^{3-x}}{7^{3-x}} = 6$

$21 \cdot (\frac{2}{7})^{3-x} = 6$

Разделим обе части на 21:

$(\frac{2}{7})^{3-x} = \frac{6}{21}$

Сократим дробь: $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.

Получаем уравнение:

$(\frac{2}{7})^{3-x} = (\frac{2}{7})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$3 - x = 1$

$x = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

4) $2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^{x-1} = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}$

Сгруппируем слагаемые с основанием 2 в левой части, а с основанием 3 - в правой:

$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-2} + 3^{x-1} + 2 \cdot 3^{x-3}$

Вынесем за скобки общие множители. В левой части вынесем $2^{x-3}$, в правой - $3^{x-3}$.

В левой части: $2^{x-3} \cdot 2^4 + 2^{x-3} \cdot 2^2 + 2^{x-3} = 2^{x-3}(2^4 + 2^2 + 1) = 2^{x-3}(16 + 4 + 1) = 21 \cdot 2^{x-3}$.

В правой части: $3^{x-3} \cdot 3^1 + 3^{x-3} \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^{x-3} = 3^{x-3}(3 + 9 + 2) = 14 \cdot 3^{x-3}$.

Уравнение принимает вид:

$21 \cdot 2^{x-3} = 14 \cdot 3^{x-3}$

Разделим обе части на $3^{x-3}$ (так как $3^{x-3} > 0$):

$21 \cdot \frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = 14$

$21 \cdot (\frac{2}{3})^{x-3} = 14$

Разделим обе части на 21:

$(\frac{2}{3})^{x-3} = \frac{14}{21}$

Сократим дробь: $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.

Получаем уравнение:

$(\frac{2}{3})^{x-3} = (\frac{2}{3})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 1$

$x = 1 + 3 = 4$

Ответ: 4

694. 1) $8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0;$ 2) $\left(\frac{1}{4}\right)^x + \left(\frac{1}{2}\right)^x - 6 = 0;$

3) $13^{2x+1} - 13^x - 12 = 0;$ 4) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

5) $2^{3x} + 8 \cdot 2^x - 6 \cdot 2^{2x} = 0;$ 6) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0.$

1) $8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0$
Перепишем уравнение, используя свойство степеней $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$:
$8 \cdot (2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 1 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$8t^2 - 6t + 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 = 2^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2 \cdot 8}$
$t_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.
Для $t_2 = \frac{1}{4}$: $2^x = \frac{1}{4} \implies 2^x = 2^{-2} \implies x = -2$.
Ответ: -2; -1.

2) $(\frac{1}{4})^x + (\frac{1}{2})^x - 6 = 0$
Заметим, что $(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = ((\frac{1}{2})^x)^2$.
Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$, где $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 + t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 \cdot t_2 = -6$ и $t_1 + t_2 = -1$.
Следовательно, $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 2$.
Вернемся к замене:
$(\frac{1}{2})^x = 2 \implies 2^{-x} = 2^1 \implies -x = 1 \implies x = -1$.
Ответ: -1.

3) $13^{2x+1} - 13^x - 12 = 0$
Преобразуем первый член уравнения, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$13^{2x} \cdot 13^1 - 13^x - 12 = 0$
$13 \cdot (13^x)^2 - 13^x - 12 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 13^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$13t^2 - t - 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-12) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.
$t_{1,2} = \frac{1 \pm 25}{2 \cdot 13}$
$t_1 = \frac{1 + 25}{26} = \frac{26}{26} = 1$
$t_2 = \frac{1 - 25}{26} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13}$
Корень $t_2 = -\frac{12}{13}$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Вернемся к замене с $t_1 = 1$:
$13^x = 1 \implies 13^x = 13^0 \implies x = 0$.
Ответ: 0.

4) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
Преобразуем уравнение:
$3 \cdot 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
Пусть $t = 3^x$, $t > 0$.
Получим квадратное уравнение: $3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3}$
$t_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня положительны.
Вернемся к замене:
1. $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.
2. $3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$.
Ответ: -1; 1.

5) $2^{3x} + 8 \cdot 2^x - 6 \cdot 2^{2x} = 0$
Перепишем уравнение, упорядочив степени: $(2^x)^3 - 6 \cdot (2^x)^2 + 8 \cdot 2^x = 0$.
Пусть $t = 2^x$, $t > 0$.
Уравнение примет вид кубического уравнения:
$t^3 - 6t^2 + 8t = 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t^2 - 6t + 8) = 0$
Отсюда либо $t=0$, либо $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Так как $t = 2^x > 0$, корень $t=0$ является посторонним.
Решим квадратное уравнение $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета: $t_1=2$, $t_2=4$.
Оба корня положительны. Вернемся к замене:
1. $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.
2. $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.
Ответ: 1; 2.

6) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$
Преобразуем уравнение:
$5 \cdot 5^{3x} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$
$5 \cdot (5^x)^3 + 34 \cdot (5^x)^2 - 7 \cdot 5^x = 0$
Пусть $t = 5^x$, $t > 0$.
$5t^3 + 34t^2 - 7t = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t(5t^2 + 34t - 7) = 0$
Так как $t > 0$, то $t \neq 0$. Значит, решаем квадратное уравнение:
$5t^2 + 34t - 7 = 0$
$D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$.
$t_{1,2} = \frac{-34 \pm 36}{2 \cdot 5}$
$t_1 = \frac{-34 + 36}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$t_2 = \frac{-34 - 36}{10} = \frac{-70}{10} = -7$
Корень $t_2=-7$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Вернемся к замене с $t_1 = \frac{1}{5}$:
$5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1$.
Ответ: -1.

695. 1) $3^{2x+6} = 2^{x+3};$

2) $5^{x-2} = 4^{2x-4};$

3) $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2};$

4) $9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}.$

1) Исходное уравнение: $3^{2x+6} = 2^{x+3}$.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся 2 за скобки в показателе степени: $3^{2(x+3)} = 2^{x+3}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(3^2)^{x+3} = 2^{x+3}$, что дает $9^{x+3} = 2^{x+3}$.

Если степени с разными основаниями равны, то это возможно, когда показатель степени равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

Приравняем показатель к нулю:

$x+3 = 0$

$x = -3$

Другой способ решения — разделить обе части уравнения на $2^{x+3}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{9^{x+3}}{2^{x+3}} = 1$

Используем свойство частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$: $(\frac{9}{2})^{x+3} = 1$.

Представим 1 как $(\frac{9}{2})^0$:

$(\frac{9}{2})^{x+3} = (\frac{9}{2})^0$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Ответ: $x = -3$.

2) Исходное уравнение: $5^{x-2} = 4^{2x-4}$.

Преобразуем показатель степени в правой части уравнения, вынеся 2 за скобки: $2x-4 = 2(x-2)$.

Уравнение принимает вид: $5^{x-2} = 4^{2(x-2)}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части: $5^{x-2} = (4^2)^{x-2}$, что дает $5^{x-2} = 16^{x-2}$.

Как и в предыдущем примере, равенство возможно, когда показатель степени равен нулю.

$x-2 = 0$

$x = 2$

Либо разделим обе части на $16^{x-2}$:

$(\frac{5}{16})^{x-2} = 1$

$(\frac{5}{16})^{x-2} = (\frac{5}{16})^0$

$x-2=0 \Rightarrow x=2$

Ответ: $x = 2$.

3) Исходное уравнение: $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2}$.

Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, преобразуем левую часть:

$(2 \cdot 3)^x = 36^{x^2}$

$6^x = 36^{x^2}$

Приведем обе части к одному основанию 6. Так как $36 = 6^2$, получаем:

$6^x = (6^2)^{x^2}$

$6^x = 6^{2x^2}$

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$x = 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x-1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

или

$2x-1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$.

4) Исходное уравнение: $9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется подкоренным выражением: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Преобразуем левую часть: $9^{-\sqrt{x-1}} = (3^2)^{-\sqrt{x-1}} = 3^{-2\sqrt{x-1}}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-2\sqrt{x-1}} = 3^{-3}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-2\sqrt{x-1} = -3$

Разделим обе части на -2:

$\sqrt{x-1} = \frac{3}{2}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x-1})^2 = (\frac{3}{2})^2$

$x-1 = \frac{9}{4}$

Найдем $x$:

$x = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 1$). $\frac{13}{4} = 3.25$, что больше 1. Следовательно, корень подходит.

Ответ: $x = \frac{13}{4}$.

696. 1) $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0;$

2) $16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0.$

1) $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Заметим, что $9 = 3^2$, $6 = 3 \cdot 2$ и $4 = 2^2$. Перепишем уравнение в виде:

$4 \cdot (3^2)^x - 13 \cdot (3 \cdot 2)^x + 9 \cdot (2^2)^x = 0$

$4 \cdot (3^x)^2 - 13 \cdot 3^x \cdot 2^x + 9 \cdot (2^x)^2 = 0$

Поскольку $4^x = (2^x)^2 > 0$ при любом действительном $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $4^x$ (или, что то же самое, на $(2^x)^2$), не теряя корней:

$\frac{4 \cdot (3^x)^2}{(2^x)^2} - \frac{13 \cdot 3^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} + \frac{9 \cdot (2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3^x}{2^x}\right)^2 - 13 \cdot \left(\frac{3^x}{2^x}\right) + 9 = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$4t^2 - 13t + 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $t = 1$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$. Так как $1 = \left(\frac{3}{2}\right)^0$, получаем $x_1 = 0$.

2. Если $t = \frac{9}{4}$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4}$. Так как $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, получаем $x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

2) $16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0$

Это также однородное показательное уравнение. Заметим, что $9 = 3^2$, $12 = 3 \cdot 4$ и $16 = 4^2$. Перепишем уравнение:

$16 \cdot (3^2)^x - 25 \cdot (3 \cdot 4)^x + 9 \cdot (4^2)^x = 0$

$16 \cdot (3^x)^2 - 25 \cdot 3^x \cdot 4^x + 9 \cdot (4^x)^2 = 0$

Поскольку $16^x = (4^x)^2 > 0$ при любом действительном $x$, разделим обе части уравнения на $16^x$ (или на $(4^x)^2$):

$\frac{16 \cdot (3^x)^2}{(4^x)^2} - \frac{25 \cdot 3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + \frac{9 \cdot (4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$

$16 \cdot \left(\frac{3^x}{4^x}\right)^2 - 25 \cdot \left(\frac{3^x}{4^x}\right) + 9 = 0$

$16 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 25 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 9 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, при этом $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$16y^2 - 25y + 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 - 7}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 + 7}{32} = \frac{32}{32} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $y = \frac{9}{16}$, то $\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16}$. Так как $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, получаем $x_1 = 2$.

2. Если $y = 1$, то $\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$. Так как $1 = \left(\frac{3}{4}\right)^0$, получаем $x_2 = 0$.

Ответ: $0; 2$.

697. 1) $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|};$

2) $1,5^{|5-x|} = 1,5^{|x-1|};$

3) $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|};$

4) $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}.$

1)

Дано показательное уравнение $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|}$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (равны 2), то мы можем приравнять их показатели:

$|x-2| = |x+4|$

Уравнение вида $|a| = |b|$ равносильно тому, что $a = b$ или $a = -b$. Рассмотрим оба случая:

1. $x-2 = x+4$. Перенеся $x$ в одну сторону, получим $0 \cdot x = 6$, что является неверным равенством. Следовательно, в этом случае решений нет.

2. $x-2 = -(x+4)$. Раскроем скобки: $x-2 = -x-4$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения в правую: $x+x = -4+2$, что дает $2x = -2$. Отсюда находим корень уравнения: $x = -1$.

Таким образом, единственным решением является $x=-1$.

Ответ: $x = -1$

2)

Дано уравнение $1.5^{|5-x|} = 1.5^{|x-1|}$. Так как основания степеней равны 1.5, приравниваем показатели:

$|5-x| = |x-1|$

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, можем записать $|5-x| = |-(x-5)| = |x-5|$. Уравнение принимает вид:

$|x-5| = |x-1|$

Это уравнение также решается рассмотрением двух случаев:

1. $x-5 = x-1$. Упрощая, получаем $-5 = -1$, что является ложным утверждением. Решений в этом случае нет.

2. $x-5 = -(x-1)$. Раскрываем скобки: $x-5 = -x+1$. Переносим члены с $x$ влево, числа вправо: $x+x = 1+5$, что дает $2x = 6$. Отсюда находим корень: $x = 3$.

Ответ: $x = 3$

3)

В уравнении $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|}$ основания равны 3, поэтому приравниваем показатели:

$|x+1| = 2-|x|$

Для решения этого уравнения с модулями воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x=0$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.

1. Интервал $x < -1$. На этом интервале $|x+1| = -(x+1)$ и $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-(x+1) = 2 - (-x)$
$-x-1 = 2+x$
$-2x = 3$
$x = -1.5$. Это значение входит в рассматриваемый интервал $(-\infty, -1)$, значит, является корнем.

2. Интервал $-1 \le x < 0$. Здесь $|x+1| = x+1$ и $|x| = -x$. Уравнение становится:
$x+1 = 2 - (-x)$
$x+1 = 2+x$
$1=2$. Это ложное равенство, решений на данном интервале нет.

3. Интервал $x \ge 0$. Здесь $|x+1| = x+1$ и $|x| = x$. Уравнение выглядит так:
$x+1 = 2-x$
$2x = 1$
$x = 0.5$. Это значение входит в интервал $[0, \infty)$, поэтому является корнем.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -1.5, x_2 = 0.5$

4)

В уравнении $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}$ приравниваем показатели, так как основания равны:

$|x| = |2-x|-1$

Для решения применим метод интервалов. Найдем нули подмодульных выражений: $x=0$ и $2-x=0 \implies x=2$. Рассматриваем три интервала.

1. Интервал $x < 0$. На этом интервале $|x| = -x$ и $|2-x| = 2-x$ (поскольку $2-x > 0$). Уравнение принимает вид:
$-x = (2-x) - 1$
$-x = 1-x$
$0 = 1$. Равенство ложное, решений нет.

2. Интервал $0 \le x < 2$. Здесь $|x| = x$ и $|2-x| = 2-x$. Уравнение становится:
$x = (2-x) - 1$
$x = 1-x$
$2x = 1$
$x = 0.5$. Значение $0.5$ принадлежит интервалу $[0, 2)$, следовательно, является корнем.

3. Интервал $x \ge 2$. Здесь $|x| = x$ и $|2-x| = -(2-x) = x-2$. Уравнение выглядит так:
$x = (x-2) - 1$
$x = x-3$
$0 = -3$. Равенство ложное, решений нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 0.5$

698. 1) $\sqrt[x]{2} \cdot 2x\sqrt{3} = 12$;

2) $\sqrt[x]{5} \cdot 5^x = 25$.

1)

Исходное уравнение: $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[2x]{3} = 12$.

Для решения этого уравнения представим корни в виде степеней с рациональными показателями. Используем свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

$\sqrt[x]{2} = 2^{1/x}$

$\sqrt[2x]{3} = 3^{1/(2x)}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{1/x} \cdot 3^{1/(2x)} = 12$

Теперь приведем степени к общему показателю. Заметим, что $1/(2x) = (1/2) \cdot (1/x)$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем переписать второй множитель:

$3^{1/(2x)} = 3^{(1/2) \cdot (1/x)} = (3^{1/2})^{1/x} = (\sqrt{3})^{1/x}$

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{1/x} \cdot (\sqrt{3})^{1/x} = 12$

Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^c \cdot b^c = (ab)^c$, объединим левую часть:

$(2 \cdot \sqrt{3})^{1/x} = 12$

Чтобы найти $x$, представим правую часть уравнения, число 12, в виде степени с основанием $2\sqrt{3}$. Возведем основание $2\sqrt{3}$ в квадрат:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, мы можем заменить 12 на $(2\sqrt{3})^2$. Уравнение принимает вид:

$(2\sqrt{3})^{1/x} = (2\sqrt{3})^2$

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1/x = 2$

Отсюда находим $x$:

$x = 1/2$

Проверка: подставим $x = 1/2$ в исходное уравнение.

$\sqrt[1/2]{2} \cdot \sqrt[2 \cdot (1/2)]{3} = \sqrt[1/2]{2} \cdot \sqrt[1]{3} = 2^{1/(1/2)} \cdot 3^1 = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

$12 = 12$. Решение верно.

Ответ: $x = 1/2$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt[x]{5} \cdot 5^x = 25$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, представив корень в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

$\sqrt[x]{5} = 5^{1/x}$

Подставим это выражение в уравнение:

$5^{1/x} \cdot 5^x = 25$

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$5^{1/x + x} = 25$

Теперь представим правую часть уравнения, число 25, в виде степени с основанием 5:

$25 = 5^2$

Уравнение принимает вид:

$5^{1/x + x} = 5^2$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1/x + x = 2$

Для решения этого уравнения (при условии, что $x \neq 0$), умножим обе части на $x$:

$1 + x^2 = 2x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Проверка: подставим $x = 1$ в исходное уравнение.

$\sqrt[1]{5} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5 = 25$.

$25 = 25$. Решение верно.

Ответ: $x = 1$.

699. 1) $(x-3)^{x^2-x-2}=1;$

2) $(x^2-x-1)^{x^2-1}=1;$

3) $(x+3)^{x^2-4}=(x+3)^{-3x};$

4) $(x+3)^{x^2-3}=(x+3)^{2x}.$

1) Решим уравнение $(x-3)^{x^2-x-2} = 1$.
Это показательно-степенное уравнение вида $f(x)^{g(x)} = 1$. Его решения находятся при рассмотрении трех случаев:
1. Показатель степени равен нулю, а основание не равно нулю: $g(x) = 0$ и $f(x) \neq 0$.
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Проверим, что основание $x-3$ не равно нулю при этих значениях $x$:
При $x = 2$, основание равно $2 - 3 = -1 \neq 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем.
При $x = -1$, основание равно $-1 - 3 = -4 \neq 0$. Следовательно, $x=-1$ является корнем.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4$.
При $x=4$ показатель степени $4^2 - 4 - 2 = 10$ существует, поэтому $1^{10}=1$. Следовательно, $x=4$ является корнем.
3. Основание степени равно -1, а показатель степени — четное целое число: $f(x) = -1$ и $g(x)$ - четное целое число.
$x - 3 = -1 \Rightarrow x = 2$.
Проверим показатель степени при $x=2$: $g(2) = 2^2 - 2 - 2 = 0$.
Число 0 является четным целым числом ($0 = 2 \cdot 0$). Условие выполняется, так как $(-1)^0 = 1$. Корень $x=2$ уже был найден в первом случае.
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-1, 2, 4\}$.

2) Решим уравнение $(x^2-x-1)^{x^2-1} = 1$.
Это также уравнение вида $f(x)^{g(x)} = 1$.
1. Показатель степени равен нулю, а основание не равно нулю: $g(x) = 0$ и $f(x) \neq 0$.
$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.
Проверим основание $f(x) = x^2-x-1$ при этих значениях:
При $x = 1$: $f(1) = 1^2 - 1 - 1 = -1 \neq 0$. Значит, $x=1$ — корень.
При $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 \neq 0$. Значит, $x=-1$ — корень.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x^2 - x - 1 = 1 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета): $x_3 = 2, x_4 = -1$.
Корень $x=-1$ уже найден. $x=2$ — новый корень.
3. Основание степени равно -1, а показатель степени — четное целое число.
$x^2 - x - 1 = -1 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Получаем $x_5 = 0, x_6 = 1$.
Проверим показатель степени $g(x) = x^2-1$ при этих значениях:
При $x=0$: $g(0) = 0^2 - 1 = -1$. Это нечетное целое число. $(-1)^{-1} = -1 \neq 1$. Значит, $x=0$ не является корнем.
При $x=1$: $g(1) = 1^2 - 1 = 0$. Это четное целое число. $(-1)^0 = 1$. Значит, $x=1$ — корень (уже найден ранее).
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-1, 1, 2\}$.

3) Решим уравнение $(x+3)^{x^2-4} = (x+3)^{-3x}$.
Это уравнение вида $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$. Рассмотрим несколько случаев.
1. Показатели степеней равны, при этом основание определено: $g(x) = h(x)$.
$x^2 - 4 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1, x_2 = -4$.
При $x=1$ основание $1+3=4$. Равенство $4^ {-3}=4^{-3}$ верно. $x=1$ - корень.
При $x=-4$ основание $-4+3=-1$. Показатели $g(-4) = (-4)^2-4=12$ и $h(-4) = -3(-4)=12$. Равенство $(-1)^{12} = (-1)^{12}$ верно. $x=-4$ - корень.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x+3 = 1 \Rightarrow x = -2$.
При $x=-2$ уравнение принимает вид $1^0 = 1^6$, что верно ($1=1$). Значит, $x=-2$ — корень.
3. Основание степени равно -1: $f(x) = -1$.
$x+3 = -1 \Rightarrow x = -4$.
При этом значении $x$ показатели степеней должны быть целыми числами одинаковой четности.
При $x=-4$: $g(-4) = (-4)^2 - 4 = 12$ (четное), $h(-4) = -3(-4) = 12$ (четное).
Четность совпадает, так что $(-1)^{12} = (-1)^{12}$ верно. Корень $x=-4$ подходит (уже найден в первом случае).
4. Основание степени равно 0: $f(x) = 0$.
$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
В этом случае показатели степеней должны быть положительными, чтобы выражения были определены.
При $x=-3$: $g(-3) = (-3)^2 - 4 = 5 > 0$, $h(-3) = -3(-3) = 9 > 0$.
Оба показателя положительны, уравнение принимает вид $0^5 = 0^9$, что верно ($0=0$). Значит, $x=-3$ — корень.
Соберем все найденные уникальные корни.
Ответ: $\{-4, -3, -2, 1\}$.

4) Решим уравнение $(x+3)^{x^2-3} = (x+3)^{2x}$.
Это уравнение вида $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$.
1. Показатели степеней равны: $g(x) = h(x)$.
$x^2 - 3 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3, x_2 = -1$.
При $x=3$ основание $3+3=6$. Равенство $6^6=6^6$ верно. $x=3$ - корень.
При $x=-1$ основание $-1+3=2$. Равенство $2^{-2}=2^{-2}$ верно. $x=-1$ - корень.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x+3=1 \Rightarrow x = -2$.
При $x=-2$ уравнение принимает вид $1^1 = 1^{-4}$, что верно ($1=1$). Значит, $x=-2$ — корень.
3. Основание степени равно -1: $f(x) = -1$.
$x+3=-1 \Rightarrow x = -4$.
Проверим четность показателей степеней при $x=-4$:
$g(-4) = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$ (нечетное).
$h(-4) = 2(-4) = -8$ (четное).
Показатели имеют разную четность, $(-1)^{13} \neq (-1)^{-8}$ (так как $-1 \neq 1$). Значит, $x=-4$ не является корнем.
4. Основание степени равно 0: $f(x) = 0$.
$x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
Проверим знаки показателей степеней при $x=-3$:
$g(-3) = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 > 0$.
$h(-3) = 2(-3) = -6 < 0$.
Поскольку показатель $h(-3)$ отрицательный, выражение $0^{-6}$ не определено. Значит, $x=-3$ не является корнем.
Соберем все найденные уникальные корни.
Ответ: $\{-2, -1, 3\}$.