Номер 697, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

697. 1) $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|};$

2) $1,5^{|5-x|} = 1,5^{|x-1|};$

3) $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|};$

4) $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}.$

1)

Дано показательное уравнение $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|}$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (равны 2), то мы можем приравнять их показатели:

$|x-2| = |x+4|$

Уравнение вида $|a| = |b|$ равносильно тому, что $a = b$ или $a = -b$. Рассмотрим оба случая:

1. $x-2 = x+4$. Перенеся $x$ в одну сторону, получим $0 \cdot x = 6$, что является неверным равенством. Следовательно, в этом случае решений нет.

2. $x-2 = -(x+4)$. Раскроем скобки: $x-2 = -x-4$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения в правую: $x+x = -4+2$, что дает $2x = -2$. Отсюда находим корень уравнения: $x = -1$.

Таким образом, единственным решением является $x=-1$.

Ответ: $x = -1$

2)

Дано уравнение $1.5^{|5-x|} = 1.5^{|x-1|}$. Так как основания степеней равны 1.5, приравниваем показатели:

$|5-x| = |x-1|$

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, можем записать $|5-x| = |-(x-5)| = |x-5|$. Уравнение принимает вид:

$|x-5| = |x-1|$

Это уравнение также решается рассмотрением двух случаев:

1. $x-5 = x-1$. Упрощая, получаем $-5 = -1$, что является ложным утверждением. Решений в этом случае нет.

2. $x-5 = -(x-1)$. Раскрываем скобки: $x-5 = -x+1$. Переносим члены с $x$ влево, числа вправо: $x+x = 1+5$, что дает $2x = 6$. Отсюда находим корень: $x = 3$.

Ответ: $x = 3$

3)

В уравнении $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|}$ основания равны 3, поэтому приравниваем показатели:

$|x+1| = 2-|x|$

Для решения этого уравнения с модулями воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x=0$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.

1. Интервал $x < -1$. На этом интервале $|x+1| = -(x+1)$ и $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-(x+1) = 2 - (-x)$
$-x-1 = 2+x$
$-2x = 3$
$x = -1.5$. Это значение входит в рассматриваемый интервал $(-\infty, -1)$, значит, является корнем.

2. Интервал $-1 \le x < 0$. Здесь $|x+1| = x+1$ и $|x| = -x$. Уравнение становится:
$x+1 = 2 - (-x)$
$x+1 = 2+x$
$1=2$. Это ложное равенство, решений на данном интервале нет.

3. Интервал $x \ge 0$. Здесь $|x+1| = x+1$ и $|x| = x$. Уравнение выглядит так:
$x+1 = 2-x$
$2x = 1$
$x = 0.5$. Это значение входит в интервал $[0, \infty)$, поэтому является корнем.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -1.5, x_2 = 0.5$

4)

В уравнении $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}$ приравниваем показатели, так как основания равны:

$|x| = |2-x|-1$

Для решения применим метод интервалов. Найдем нули подмодульных выражений: $x=0$ и $2-x=0 \implies x=2$. Рассматриваем три интервала.

1. Интервал $x < 0$. На этом интервале $|x| = -x$ и $|2-x| = 2-x$ (поскольку $2-x > 0$). Уравнение принимает вид:
$-x = (2-x) - 1$
$-x = 1-x$
$0 = 1$. Равенство ложное, решений нет.

2. Интервал $0 \le x < 2$. Здесь $|x| = x$ и $|2-x| = 2-x$. Уравнение становится:
$x = (2-x) - 1$
$x = 1-x$
$2x = 1$
$x = 0.5$. Значение $0.5$ принадлежит интервалу $[0, 2)$, следовательно, является корнем.

3. Интервал $x \ge 2$. Здесь $|x| = x$ и $|2-x| = -(2-x) = x-2$. Уравнение выглядит так:
$x = (x-2) - 1$
$x = x-3$
$0 = -3$. Равенство ложное, решений нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 0.5$