Номер 694, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

694. 1) $8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0;$ 2) $\left(\frac{1}{4}\right)^x + \left(\frac{1}{2}\right)^x - 6 = 0;$

3) $13^{2x+1} - 13^x - 12 = 0;$ 4) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

5) $2^{3x} + 8 \cdot 2^x - 6 \cdot 2^{2x} = 0;$ 6) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0.$

1) $8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0$
Перепишем уравнение, используя свойство степеней $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$:
$8 \cdot (2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 1 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$8t^2 - 6t + 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 = 2^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2 \cdot 8}$
$t_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.
Для $t_2 = \frac{1}{4}$: $2^x = \frac{1}{4} \implies 2^x = 2^{-2} \implies x = -2$.
Ответ: -2; -1.

2) $(\frac{1}{4})^x + (\frac{1}{2})^x - 6 = 0$
Заметим, что $(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = ((\frac{1}{2})^x)^2$.
Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$, где $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 + t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 \cdot t_2 = -6$ и $t_1 + t_2 = -1$.
Следовательно, $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 2$.
Вернемся к замене:
$(\frac{1}{2})^x = 2 \implies 2^{-x} = 2^1 \implies -x = 1 \implies x = -1$.
Ответ: -1.

3) $13^{2x+1} - 13^x - 12 = 0$
Преобразуем первый член уравнения, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$13^{2x} \cdot 13^1 - 13^x - 12 = 0$
$13 \cdot (13^x)^2 - 13^x - 12 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 13^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$13t^2 - t - 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-12) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.
$t_{1,2} = \frac{1 \pm 25}{2 \cdot 13}$
$t_1 = \frac{1 + 25}{26} = \frac{26}{26} = 1$
$t_2 = \frac{1 - 25}{26} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13}$
Корень $t_2 = -\frac{12}{13}$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Вернемся к замене с $t_1 = 1$:
$13^x = 1 \implies 13^x = 13^0 \implies x = 0$.
Ответ: 0.

4) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
Преобразуем уравнение:
$3 \cdot 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
Пусть $t = 3^x$, $t > 0$.
Получим квадратное уравнение: $3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3}$
$t_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня положительны.
Вернемся к замене:
1. $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.
2. $3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$.
Ответ: -1; 1.

5) $2^{3x} + 8 \cdot 2^x - 6 \cdot 2^{2x} = 0$
Перепишем уравнение, упорядочив степени: $(2^x)^3 - 6 \cdot (2^x)^2 + 8 \cdot 2^x = 0$.
Пусть $t = 2^x$, $t > 0$.
Уравнение примет вид кубического уравнения:
$t^3 - 6t^2 + 8t = 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t^2 - 6t + 8) = 0$
Отсюда либо $t=0$, либо $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Так как $t = 2^x > 0$, корень $t=0$ является посторонним.
Решим квадратное уравнение $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета: $t_1=2$, $t_2=4$.
Оба корня положительны. Вернемся к замене:
1. $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.
2. $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.
Ответ: 1; 2.

6) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$
Преобразуем уравнение:
$5 \cdot 5^{3x} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$
$5 \cdot (5^x)^3 + 34 \cdot (5^x)^2 - 7 \cdot 5^x = 0$
Пусть $t = 5^x$, $t > 0$.
$5t^3 + 34t^2 - 7t = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t(5t^2 + 34t - 7) = 0$
Так как $t > 0$, то $t \neq 0$. Значит, решаем квадратное уравнение:
$5t^2 + 34t - 7 = 0$
$D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$.
$t_{1,2} = \frac{-34 \pm 36}{2 \cdot 5}$
$t_1 = \frac{-34 + 36}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$t_2 = \frac{-34 - 36}{10} = \frac{-70}{10} = -7$
Корень $t_2=-7$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Вернемся к замене с $t_1 = \frac{1}{5}$:
$5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1$.
Ответ: -1.