Номер 699, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

699. 1) $(x-3)^{x^2-x-2}=1;$

2) $(x^2-x-1)^{x^2-1}=1;$

3) $(x+3)^{x^2-4}=(x+3)^{-3x};$

4) $(x+3)^{x^2-3}=(x+3)^{2x}.$

1) Решим уравнение $(x-3)^{x^2-x-2} = 1$.
Это показательно-степенное уравнение вида $f(x)^{g(x)} = 1$. Его решения находятся при рассмотрении трех случаев:
1. Показатель степени равен нулю, а основание не равно нулю: $g(x) = 0$ и $f(x) \neq 0$.
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Проверим, что основание $x-3$ не равно нулю при этих значениях $x$:
При $x = 2$, основание равно $2 - 3 = -1 \neq 0$. Следовательно, $x=2$ является корнем.
При $x = -1$, основание равно $-1 - 3 = -4 \neq 0$. Следовательно, $x=-1$ является корнем.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4$.
При $x=4$ показатель степени $4^2 - 4 - 2 = 10$ существует, поэтому $1^{10}=1$. Следовательно, $x=4$ является корнем.
3. Основание степени равно -1, а показатель степени — четное целое число: $f(x) = -1$ и $g(x)$ - четное целое число.
$x - 3 = -1 \Rightarrow x = 2$.
Проверим показатель степени при $x=2$: $g(2) = 2^2 - 2 - 2 = 0$.
Число 0 является четным целым числом ($0 = 2 \cdot 0$). Условие выполняется, так как $(-1)^0 = 1$. Корень $x=2$ уже был найден в первом случае.
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-1, 2, 4\}$.

2) Решим уравнение $(x^2-x-1)^{x^2-1} = 1$.
Это также уравнение вида $f(x)^{g(x)} = 1$.
1. Показатель степени равен нулю, а основание не равно нулю: $g(x) = 0$ и $f(x) \neq 0$.
$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.
Проверим основание $f(x) = x^2-x-1$ при этих значениях:
При $x = 1$: $f(1) = 1^2 - 1 - 1 = -1 \neq 0$. Значит, $x=1$ — корень.
При $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 \neq 0$. Значит, $x=-1$ — корень.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x^2 - x - 1 = 1 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета): $x_3 = 2, x_4 = -1$.
Корень $x=-1$ уже найден. $x=2$ — новый корень.
3. Основание степени равно -1, а показатель степени — четное целое число.
$x^2 - x - 1 = -1 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Получаем $x_5 = 0, x_6 = 1$.
Проверим показатель степени $g(x) = x^2-1$ при этих значениях:
При $x=0$: $g(0) = 0^2 - 1 = -1$. Это нечетное целое число. $(-1)^{-1} = -1 \neq 1$. Значит, $x=0$ не является корнем.
При $x=1$: $g(1) = 1^2 - 1 = 0$. Это четное целое число. $(-1)^0 = 1$. Значит, $x=1$ — корень (уже найден ранее).
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-1, 1, 2\}$.

3) Решим уравнение $(x+3)^{x^2-4} = (x+3)^{-3x}$.
Это уравнение вида $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$. Рассмотрим несколько случаев.
1. Показатели степеней равны, при этом основание определено: $g(x) = h(x)$.
$x^2 - 4 = -3x \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1, x_2 = -4$.
При $x=1$ основание $1+3=4$. Равенство $4^ {-3}=4^{-3}$ верно. $x=1$ - корень.
При $x=-4$ основание $-4+3=-1$. Показатели $g(-4) = (-4)^2-4=12$ и $h(-4) = -3(-4)=12$. Равенство $(-1)^{12} = (-1)^{12}$ верно. $x=-4$ - корень.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x+3 = 1 \Rightarrow x = -2$.
При $x=-2$ уравнение принимает вид $1^0 = 1^6$, что верно ($1=1$). Значит, $x=-2$ — корень.
3. Основание степени равно -1: $f(x) = -1$.
$x+3 = -1 \Rightarrow x = -4$.
При этом значении $x$ показатели степеней должны быть целыми числами одинаковой четности.
При $x=-4$: $g(-4) = (-4)^2 - 4 = 12$ (четное), $h(-4) = -3(-4) = 12$ (четное).
Четность совпадает, так что $(-1)^{12} = (-1)^{12}$ верно. Корень $x=-4$ подходит (уже найден в первом случае).
4. Основание степени равно 0: $f(x) = 0$.
$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
В этом случае показатели степеней должны быть положительными, чтобы выражения были определены.
При $x=-3$: $g(-3) = (-3)^2 - 4 = 5 > 0$, $h(-3) = -3(-3) = 9 > 0$.
Оба показателя положительны, уравнение принимает вид $0^5 = 0^9$, что верно ($0=0$). Значит, $x=-3$ — корень.
Соберем все найденные уникальные корни.
Ответ: $\{-4, -3, -2, 1\}$.

4) Решим уравнение $(x+3)^{x^2-3} = (x+3)^{2x}$.
Это уравнение вида $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$.
1. Показатели степеней равны: $g(x) = h(x)$.
$x^2 - 3 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3, x_2 = -1$.
При $x=3$ основание $3+3=6$. Равенство $6^6=6^6$ верно. $x=3$ - корень.
При $x=-1$ основание $-1+3=2$. Равенство $2^{-2}=2^{-2}$ верно. $x=-1$ - корень.
2. Основание степени равно 1: $f(x) = 1$.
$x+3=1 \Rightarrow x = -2$.
При $x=-2$ уравнение принимает вид $1^1 = 1^{-4}$, что верно ($1=1$). Значит, $x=-2$ — корень.
3. Основание степени равно -1: $f(x) = -1$.
$x+3=-1 \Rightarrow x = -4$.
Проверим четность показателей степеней при $x=-4$:
$g(-4) = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$ (нечетное).
$h(-4) = 2(-4) = -8$ (четное).
Показатели имеют разную четность, $(-1)^{13} \neq (-1)^{-8}$ (так как $-1 \neq 1$). Значит, $x=-4$ не является корнем.
4. Основание степени равно 0: $f(x) = 0$.
$x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
Проверим знаки показателей степеней при $x=-3$:
$g(-3) = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 > 0$.
$h(-3) = 2(-3) = -6 < 0$.
Поскольку показатель $h(-3)$ отрицательный, выражение $0^{-6}$ не определено. Значит, $x=-3$ не является корнем.
Соберем все найденные уникальные корни.
Ответ: $\{-2, -1, 3\}$.