Номер 696, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

696. 1) $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0;$

2) $16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0.$

1) $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Заметим, что $9 = 3^2$, $6 = 3 \cdot 2$ и $4 = 2^2$. Перепишем уравнение в виде:

$4 \cdot (3^2)^x - 13 \cdot (3 \cdot 2)^x + 9 \cdot (2^2)^x = 0$

$4 \cdot (3^x)^2 - 13 \cdot 3^x \cdot 2^x + 9 \cdot (2^x)^2 = 0$

Поскольку $4^x = (2^x)^2 > 0$ при любом действительном $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $4^x$ (или, что то же самое, на $(2^x)^2$), не теряя корней:

$\frac{4 \cdot (3^x)^2}{(2^x)^2} - \frac{13 \cdot 3^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} + \frac{9 \cdot (2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3^x}{2^x}\right)^2 - 13 \cdot \left(\frac{3^x}{2^x}\right) + 9 = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$4t^2 - 13t + 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $t = 1$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$. Так как $1 = \left(\frac{3}{2}\right)^0$, получаем $x_1 = 0$.

2. Если $t = \frac{9}{4}$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4}$. Так как $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, получаем $x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

2) $16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0$

Это также однородное показательное уравнение. Заметим, что $9 = 3^2$, $12 = 3 \cdot 4$ и $16 = 4^2$. Перепишем уравнение:

$16 \cdot (3^2)^x - 25 \cdot (3 \cdot 4)^x + 9 \cdot (4^2)^x = 0$

$16 \cdot (3^x)^2 - 25 \cdot 3^x \cdot 4^x + 9 \cdot (4^x)^2 = 0$

Поскольку $16^x = (4^x)^2 > 0$ при любом действительном $x$, разделим обе части уравнения на $16^x$ (или на $(4^x)^2$):

$\frac{16 \cdot (3^x)^2}{(4^x)^2} - \frac{25 \cdot 3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + \frac{9 \cdot (4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$

$16 \cdot \left(\frac{3^x}{4^x}\right)^2 - 25 \cdot \left(\frac{3^x}{4^x}\right) + 9 = 0$

$16 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 25 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 9 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, при этом $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$16y^2 - 25y + 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 - 7}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 + 7}{32} = \frac{32}{32} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $y = \frac{9}{16}$, то $\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16}$. Так как $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, получаем $x_1 = 2$.

2. Если $y = 1$, то $\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$. Так как $1 = \left(\frac{3}{4}\right)^0$, получаем $x_2 = 0$.

Ответ: $0; 2$.