Номер 702, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

702. Доказать, что уравнение:

1) $4^x + 25^x = 29$;

2) $7^x + 18^x = 25 -

имеет только один корень $x=1$.

1)
Доказательство состоит из двух частей.

Проверка корня.
Подставим значение $x=1$ в уравнение $4^x + 25^x = 29$:
$4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29$.
Равенство $29 = 29$ является верным, следовательно, $x=1$ — корень данного уравнения.

Доказательство единственности.
Рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения: $f(x) = 4^x + 25^x$.
Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1(x) = 4^x$ и $y_2(x) = 25^x$.
Поскольку основания степеней ($4$ и $25$) больше 1, обе функции $y_1(x)$ и $y_2(x)$ являются строго возрастающими на всей своей области определения.
Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Таким образом, $f(x)$ — строго возрастающая функция.
По свойству строго возрастающей функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Мы уже нашли, что $f(1) = 29$. Следовательно, других значений $x$, при которых $f(x)$ равнялось бы 29, не существует.
Это доказывает, что $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: Доказано, что уравнение $4^x + 25^x = 29$ имеет только один корень $x=1$.

2)
Доказательство для уравнения $7^x + 18^x = 25$ проводится аналогично предыдущему пункту.

Проверка корня.
Подставим $x=1$ в уравнение:
$7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25$.
Равенство $25 = 25$ верно, значит, $x=1$ является корнем.

Доказательство единственности.
Рассмотрим функцию $g(x) = 7^x + 18^x$.
Функции $y_1(x) = 7^x$ и $y_2(x) = 18^x$ являются строго возрастающими, так как их основания $7 > 1$ и $18 > 1$.
Их сумма, функция $g(x)$, также является строго возрастающей.
Строго возрастающая функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Поскольку мы уже выяснили, что $g(1) = 25$, других корней у уравнения быть не может.
Таким образом, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: Доказано, что уравнение $7^x + 18^x = 25$ имеет только один корень $x=1$.