Номер 703, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (703–704).

703.

1) $3^x > 9;$

2) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4};$

3) $(\frac{1}{4})^x < 2;$

4) $4^x < \frac{1}{2};$

5) $2^{3x} \ge \frac{1}{2};$

6) $(\frac{1}{3})^{x-1} \le \frac{1}{9}.$

1) Исходное неравенство: $3^x > 9$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3:

$9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^x > 3^2$.

Так как основание степени $a=3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$.

Так как основание степени $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^x < 2$.

Представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием, например, с основанием 2.

Левая часть: $(\frac{1}{4})^x = ( (2^2)^{-1} )^x = (2^{-2})^x = 2^{-2x}$.

Правая часть: $2 = 2^1$.

Неравенство принимает вид: $2^{-2x} < 2^1$.

Так как основание степени $a=2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$-2x < 1$.

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $4^x < \frac{1}{2}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Левая часть: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

Правая часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $2^{2x} < 2^{-1}$.

Так как основание $a=2$ больше 1, показательная функция возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x < -1$.

$x < -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2})$.

5) Исходное неравенство: $2^{3x} \geq \frac{1}{2}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $2^{3x} \geq 2^{-1}$.

Так как основание $a=2$ больше 1, показательная функция возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x \geq -1$.

$x \geq -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $(\frac{1}{3})^{x-1} \leq \frac{1}{9}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x-1} \leq (\frac{1}{3})^2$.

Так как основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x-1 \geq 2$.

$x \geq 2 + 1$.

$x \geq 3$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.