Номер 698, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

698. 1) $\sqrt[x]{2} \cdot 2x\sqrt{3} = 12$;

2) $\sqrt[x]{5} \cdot 5^x = 25$.

1)

Исходное уравнение: $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[2x]{3} = 12$.

Для решения этого уравнения представим корни в виде степеней с рациональными показателями. Используем свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

$\sqrt[x]{2} = 2^{1/x}$

$\sqrt[2x]{3} = 3^{1/(2x)}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{1/x} \cdot 3^{1/(2x)} = 12$

Теперь приведем степени к общему показателю. Заметим, что $1/(2x) = (1/2) \cdot (1/x)$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем переписать второй множитель:

$3^{1/(2x)} = 3^{(1/2) \cdot (1/x)} = (3^{1/2})^{1/x} = (\sqrt{3})^{1/x}$

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{1/x} \cdot (\sqrt{3})^{1/x} = 12$

Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^c \cdot b^c = (ab)^c$, объединим левую часть:

$(2 \cdot \sqrt{3})^{1/x} = 12$

Чтобы найти $x$, представим правую часть уравнения, число 12, в виде степени с основанием $2\sqrt{3}$. Возведем основание $2\sqrt{3}$ в квадрат:

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, мы можем заменить 12 на $(2\sqrt{3})^2$. Уравнение принимает вид:

$(2\sqrt{3})^{1/x} = (2\sqrt{3})^2$

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1/x = 2$

Отсюда находим $x$:

$x = 1/2$

Проверка: подставим $x = 1/2$ в исходное уравнение.

$\sqrt[1/2]{2} \cdot \sqrt[2 \cdot (1/2)]{3} = \sqrt[1/2]{2} \cdot \sqrt[1]{3} = 2^{1/(1/2)} \cdot 3^1 = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

$12 = 12$. Решение верно.

Ответ: $x = 1/2$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt[x]{5} \cdot 5^x = 25$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, представив корень в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

$\sqrt[x]{5} = 5^{1/x}$

Подставим это выражение в уравнение:

$5^{1/x} \cdot 5^x = 25$

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$5^{1/x + x} = 25$

Теперь представим правую часть уравнения, число 25, в виде степени с основанием 5:

$25 = 5^2$

Уравнение принимает вид:

$5^{1/x + x} = 5^2$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1/x + x = 2$

Для решения этого уравнения (при условии, что $x \neq 0$), умножим обе части на $x$:

$1 + x^2 = 2x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Проверка: подставим $x = 1$ в исходное уравнение.

$\sqrt[1]{5} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5 = 25$.

$25 = 25$. Решение верно.

Ответ: $x = 1$.