Номер 691, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

691.1) $7^{x-2} = 3^{2-x}$;

2) $2^{x-3} = 3^{3-x}$;

3) $3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$;

4) $4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$.

1)

Дано показательное уравнение $7^{x-2} = 3^{2-x}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$7^{x-2} = \frac{1}{3^{x-2}}$

Умножим обе части уравнения на $3^{x-2}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):

$7^{x-2} \cdot 3^{x-2} = 1$

Воспользуемся свойством степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для левой части:

$(7 \cdot 3)^{x-2} = 1$

$21^{x-2} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем представить $1$ как $21^0$.

$21^{x-2} = 21^0$

Поскольку основания степеней одинаковы и не равны 1, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

2)

Дано показательное уравнение $2^{x-3} = 3^{3-x}$.

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Преобразуем показатель степени в правой части: $3-x = -(x-3)$.

$3^{3-x} = 3^{-(x-3)} = \frac{1}{3^{x-3}}$

Подставим это в уравнение:

$2^{x-3} = \frac{1}{3^{x-3}}$

Умножим обе части на $3^{x-3}$:

$2^{x-3} \cdot 3^{x-3} = 1$

Объединим основания степеней в левой части:

$(2 \cdot 3)^{x-3} = 1$

$6^{x-3} = 1$

Представим $1$ как $6^0$:

$6^{x-3} = 6^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

3)

Дано уравнение $3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$.

Заметим, что если показатель степени $x+2$ равен нулю, то обе части уравнения станут равны 1 (поскольку $a^0=1$ для $a \neq 0$).

Пусть $x+2=0$, тогда $x=-2$. Сделаем проверку, подставив это значение в исходное уравнение:

$3^{\frac{-2+2}{4}} = 5^{-2+2}$

$3^{\frac{0}{4}} = 5^0$

$3^0 = 5^0$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, $x=-2$ является корнем уравнения.

Чтобы убедиться, что других корней нет, преобразуем уравнение. Разделим обе части уравнения на $5^{x+2}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{3^{\frac{x+2}{4}}}{5^{x+2}} = 1$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем числитель:

$3^{\frac{x+2}{4}} = 3^{\frac{1}{4} \cdot (x+2)} = (3^{\frac{1}{4}})^{x+2} = (\sqrt[4]{3})^{x+2}$

Уравнение примет вид:

$\frac{(\sqrt[4]{3})^{x+2}}{5^{x+2}} = 1$

Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{\sqrt[4]{3}}{5})^{x+2} = 1$

Показательное уравнение вида $a^y=1$ (где $a>0$ и $a \neq 1$) имеет единственное решение $y=0$. В нашем случае основание $\frac{\sqrt[4]{3}}{5} \neq 1$.

Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$x+2=0$

$x=-2$

Ответ: $x=-2$.

4)

Дано уравнение $4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойства степеней.
Левая часть: $4^{\frac{x-3}{2}} = (2^2)^{\frac{x-3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x-3}{2}} = 2^{x-3}$.
Правая часть: $3^{2(x-3)} = (3^2)^{x-3} = 9^{x-3}$.

Теперь уравнение имеет более простой вид:

$2^{x-3} = 9^{x-3}$

Разделим обе части уравнения на $9^{x-3}$ (это выражение всегда положительно):

$\frac{2^{x-3}}{9^{x-3}} = 1$

Применим свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{2}{9})^{x-3} = 1$

Так как основание степени $\frac{2}{9}$ не равно 1, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю.

$x-3=0$

$x=3$

Проверим найденный корень:

$4^{\frac{3-3}{2}} = 3^{2(3-3)}$

$4^0 = 3^0$

$1=1$

Равенство верное.

Ответ: $x=3$.