Номер 687, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

687.1) $0.3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 1;$

2) $\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^2 - 2x + 3} = 1;$

3) $5.1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5.1\sqrt{5.1};$

4) $2^{2x^2 + 5x - 4} = 0.5.$

1)

Исходное уравнение: $0,3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 1$.
Любое число (кроме 0 и 1), возведенное в нулевую степень, равно единице. Представим 1 как $0,3^0$, так как основание в левой части равно 0,3.
$0,3^{x^3 - x^2 + x - 1} = 0,3^0$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$
Для решения этого кубического уравнения сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Первый случай: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Второй случай: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.
Ответ: 1.

2)

Исходное уравнение: $(2\frac{1}{3})^{-x^2 - 2x + 3} = 1$.
Основание степени $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ не равно 1. Следовательно, чтобы выражение равнялось 1, показатель степени должен быть равен нулю.
$-x^2 - 2x + 3 = 0$
Умножим все члены уравнения на -1, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Корни уравнения: 1 и -3.
Ответ: -3; 1.

3)

Исходное уравнение: $5,1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5,1\sqrt{5,1}$.
Преобразуем правую часть уравнения, чтобы представить ее в виде степени с основанием 5,1. Используем свойства степеней: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5,1\sqrt{5,1} = 5,1^1 \cdot 5,1^{\frac{1}{2}} = 5,1^{1 + \frac{1}{2}} = 5,1^{\frac{3}{2}}$
Теперь уравнение выглядит так:
$5,1^{\frac{1}{2}(x-3)} = 5,1^{\frac{3}{2}}$
Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:
$\frac{1}{2}(x-3) = \frac{3}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$x - 3 = 3$
Перенесем -3 в правую часть:
$x = 3 + 3 = 6$
Ответ: 6.

4)

Исходное уравнение: $2^{2x^2 + 5x - 4} = 0,5$.
Представим число 0,5 в виде степени с основанием 2.
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^{2x^2 + 5x - 4} = 2^{-1}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$2x^2 + 5x - 4 = -1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 4 + 1 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
Корни уравнения: 0,5 и -3.
Ответ: -3; 0,5.