Номер 689, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

689. 1) $2^{x^2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8};$

2) $5^{0,1x} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-0,06} = 5^{x^2};$

3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x};$

4) $0,7^{\sqrt{x+12}} \cdot 0,7^{-2} = 0,7^{\sqrt{x}}.$

1) Для решения уравнения $2^{x^2} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8}$ приведем все его части к единому основанию 2.
Представим $(\frac{1}{2})$ как $2^{-1}$ и $\sqrt[4]{8}$ как $\sqrt[4]{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$.
Уравнение примет вид:
$2^{x^2} \cdot (2^{-1})^{\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$2^{x^2} \cdot 2^{-\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{x^2 - \frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^2 - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4x^2 - x = 3$
$4x^2 - x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$
Ответ: $1; -0,75$.

2) Для решения уравнения $5^{0,1x} \cdot (\frac{1}{5})^{-0,06} = 5^{x^2}$ приведем все его части к основанию 5.
Представим $(\frac{1}{5})$ как $5^{-1}$.
Уравнение примет вид:
$5^{0,1x} \cdot (5^{-1})^{-0,06} = 5^{x^2}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{0,1x} \cdot 5^{0,06} = 5^{x^2}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в левой части:
$5^{0,1x + 0,06} = 5^{x^2}$
Приравниваем показатели степеней:
$0,1x + 0,06 = x^2$
Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$x^2 - 0,1x - 0,06 = 0$
Умножим уравнение на 100 для удобства вычислений:
$100x^2 - 10x - 6 = 0$
Сократим все члены уравнения на 2:
$50x^2 - 5x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-3) = 25 + 600 = 625 = 25^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 25}{2 \cdot 50} = \frac{30}{100} = 0,3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 25}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -0,2$
Ответ: $0,3; -0,2$.

3) В уравнении $(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x}} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{1}{2})^{2x}$ все степени уже имеют одинаковое основание $(\frac{1}{2})$.
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ к левой части:
$(\frac{1}{2})^{\sqrt{1-x} - 1} = (\frac{1}{2})^{2x}$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{1-x} - 1 = 2x$
Изолируем корень:
$\sqrt{1-x} = 2x + 1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. Во-вторых, результат извлечения квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0,5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-0,5; 1]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1-x})^2 = (2x + 1)^2$
$1 - x = 4x^2 + 4x + 1$
Приведем подобные члены:
$4x^2 + 5x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(4x + 5) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $4x_2 + 5 = 0 \implies x_2 = -1,25$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ:
$x_1 = 0$ входит в промежуток $[-0,5; 1]$.
$x_2 = -1,25$ не входит в промежуток $[-0,5; 1]$, следовательно, это посторонний корень.
Единственным решением является $x=0$.
Ответ: $0$.

4) В уравнении $0,7^{\sqrt{x+12}} \cdot 0,7^{-2} = 0,7^{\sqrt{x}}$ все степени имеют одинаковое основание 0,7.
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ к левой части:
$0,7^{\sqrt{x+12} - 2} = 0,7^{\sqrt{x}}$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{x+12} - 2 = \sqrt{x}$
Изолируем один из корней:
$\sqrt{x+12} = \sqrt{x} + 2$
Определим ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x+12 \ge 0 \implies x \ge -12$ и $x \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+12})^2 = (\sqrt{x} + 2)^2$
$x + 12 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + 2^2$
$x + 12 = x + 4\sqrt{x} + 4$
Упростим уравнение:
$12 = 4\sqrt{x} + 4$
$8 = 4\sqrt{x}$
$2 = \sqrt{x}$
Возведем обе части в квадрат еще раз:
$4 = x$
Проверим найденный корень $x=4$ на соответствие ОДЗ. Так как $4 \ge 0$, корень подходит.
Ответ: $4$.