Номер 686, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

686. 1) $3^{x^2+x-12} = 1$

2) $2^{x^2-7x+10} = 1$

3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$

4) $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$

1) Дано показательное уравнение $3^{x^2+x-12} = 1$.
Чтобы решить это уравнение, представим число 1 как степень с основанием 3. Мы знаем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
Получаем уравнение: $3^{x^2+x-12} = 3^0$
Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $x^2 + x - 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -4$.

2) Дано показательное уравнение $2^{x^2-7x+10} = 1$.
Аналогично предыдущему примеру, представим 1 как степень с основанием 2: $1 = 2^0$. $2^{x^2-7x+10} = 2^0$
Приравниваем показатели степеней: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 10. $x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 10$
Этими числами являются 2 и 5.
$x_1 = 2$, $x_2 = 5$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 5$.

3) Дано показательное уравнение $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$.
Для начала приведем обе части уравнения к одному основанию, которым будет 2. Число 4 можно представить как $2^2$. $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 2^2$
Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $\frac{x-1}{x-2} = 2$
Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.
Для решения уравнения умножим обе его части на $(x-2)$: $x - 1 = 2(x - 2)$
$x - 1 = 2x - 4$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой: $4 - 1 = 2x - x$
$3 = x$
Полученный корень $x=3$ не противоречит ОДЗ ($3 \neq 2$), поэтому он является решением уравнения.
Ответ: $x = 3$.

4) Дано показательное уравнение $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$.
Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к 2. $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
$4 = 2^2$
Подставляем эти выражения в исходное уравнение: $(2^{-1})^{\frac{1}{x}} = (2^2)^{\frac{1}{x+1}}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x+1}}$
Приравниваем показатели степеней: $-\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$
ОДЗ для этого уравнения: знаменатели не должны равняться нулю, то есть $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$ (откуда $x \neq -1$).
Решим полученное уравнение методом перекрестного умножения: $-1 \cdot (x+1) = 2 \cdot x$
$-x - 1 = 2x$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Корень $x = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{3} \neq 0$ и $-\frac{1}{3} \neq -1$).
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.