Номер 688, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

688. 1) $10^x = \sqrt[3]{100};$

2) $10^x = \sqrt[5]{10\,000};$

3) $225^{2x^2-24} = 15;$

4) $10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}};$

5) $(\sqrt{10})^x = 10^{x^2-x};$

6) $100^{x^2-1} = 10^{1-5x}.$

1) Для решения уравнения $10^x = \sqrt[3]{100}$ необходимо привести правую часть к основанию 10.
Мы знаем, что $100 = 10^2$. Тогда $\sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{10^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$, получаем: $\sqrt[3]{10^2} = 10^{2/3}$.
Теперь уравнение имеет вид: $10^x = 10^{2/3}$.
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны.
$x = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Для решения уравнения $10^x = \sqrt[5]{10\,000}$ приведем правую часть к основанию 10.
Мы знаем, что $10\,000 = 10^4$. Тогда $\sqrt[5]{10\,000} = \sqrt[5]{10^4}$.
Используя свойство корня, получаем: $\sqrt[5]{10^4} = 10^{4/5}$.
Уравнение принимает вид: $10^x = 10^{4/5}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$.
$x = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

3) Для решения уравнения $225^{2x^2-24} = 15$ приведем обе части к одному основанию.
Заметим, что $225 = 15^2$.
Подставим это в уравнение: $(15^2)^{2x^2-24} = 15^1$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть: $15^{2(2x^2-24)} = 15^{4x^2-48}$.
Теперь уравнение выглядит так: $15^{4x^2-48} = 15^1$.
Приравниваем показатели степеней: $4x^2 - 48 = 1$.
Решаем полученное квадратное уравнение:
$4x^2 = 49$
$x^2 = \frac{49}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{49}{4}} = \pm\frac{7}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{7}{2}$.

4) Для решения уравнения $10^x = \frac{1}{\sqrt[4]{10\,000}}$ преобразуем правую часть.
Сначала упростим знаменатель: $\sqrt[4]{10\,000} = \sqrt[4]{10^4} = 10^1 = 10$.
Тогда правая часть уравнения равна $\frac{1}{10}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, запишем $\frac{1}{10}$ как $10^{-1}$.
Уравнение принимает вид: $10^x = 10^{-1}$.
Следовательно, $x = -1$.
Ответ: $-1$.

5) Для решения уравнения $(\sqrt{10})^x = 10^{x^2-x}$ приведем обе части к основанию 10.
Левая часть: $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$.
Уравнение принимает вид: $10^{x/2} = 10^{x^2-x}$.
Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = x^2 - x$.
Решим полученное уравнение. Умножим обе части на 2:
$x = 2(x^2 - x)$
$x = 2x^2 - 2x$
$2x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $2x - 3 = 0$, откуда $x_2 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $0; \frac{3}{2}$.

6) Для решения уравнения $100^{x^2-1} = 10^{1-5x}$ приведем левую часть к основанию 10.
Так как $100 = 10^2$, то $(10^2)^{x^2-1} = 10^{2(x^2-1)} = 10^{2x^2-2}$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x^2-2} = 10^{1-5x}$.
Приравниваем показатели степеней: $2x^2 - 2 = 1 - 5x$.
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 2 - 1 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Решаем уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Ответ: $-3; \frac{1}{2}$.