Номер 693, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

693. 1) $3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x;$

2) $3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3},$

3) $2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11;$

4) $2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^{x-1} = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}.$

1) $3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести общие множители в левой и правой частях уравнения.

В левой части: $3^x \cdot 3^3 + 3^x = 3^x(3^3 + 1) = 3^x(27 + 1) = 28 \cdot 3^x$.

В правой части: $7^x \cdot 7^1 + 5 \cdot 7^x = 7^x(7 + 5) = 12 \cdot 7^x$.

Получаем уравнение: $28 \cdot 3^x = 12 \cdot 7^x$.

Разделим обе части на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ при любом $x$):

$28 \cdot \frac{3^x}{7^x} = 12$

$28 \cdot (\frac{3}{7})^x = 12$

Разделим обе части на 28:

$(\frac{3}{7})^x = \frac{12}{28}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{12}{28} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{3}{7}$

Получаем простое показательное уравнение:

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: 1

2) $3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$3^{x+4} - 3^{x+3} = 5^{x+4} - 3 \cdot 5^{x+3}$

Вынесем за скобки общие множители, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

В левой части: $3^{x+3} \cdot 3^1 - 3^{x+3} = 3^{x+3}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{x+3}$.

В правой части: $5^{x+3} \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+3}(5 - 3) = 2 \cdot 5^{x+3}$.

Уравнение принимает вид:

$2 \cdot 3^{x+3} = 2 \cdot 5^{x+3}$

Разделим обе части на 2:

$3^{x+3} = 5^{x+3}$

Разделим обе части на $5^{x+3}$ (так как $5^{x+3} > 0$):

$\frac{3^{x+3}}{5^{x+3}} = 1$

$(\frac{3}{5})^{x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю:

$x+3 = 0$

$x = -3$

Ответ: -3

3) $2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{8-x} - 11 \cdot 2^{3-x} = 7^{4-x} - 7^{3-x}$

Вынесем за скобки общие множители. В левой части вынесем $2^{3-x}$, а в правой $7^{3-x}$.

В левой части: $2^{5} \cdot 2^{3-x} - 11 \cdot 2^{3-x} = 2^{3-x}(2^5 - 11) = 2^{3-x}(32 - 11) = 21 \cdot 2^{3-x}$.

В правой части: $7^{1} \cdot 7^{3-x} - 7^{3-x} = 7^{3-x}(7 - 1) = 6 \cdot 7^{3-x}$.

Уравнение принимает вид:

$21 \cdot 2^{3-x} = 6 \cdot 7^{3-x}$

Разделим обе части на $7^{3-x}$ (так как $7^{3-x} > 0$):

$21 \cdot \frac{2^{3-x}}{7^{3-x}} = 6$

$21 \cdot (\frac{2}{7})^{3-x} = 6$

Разделим обе части на 21:

$(\frac{2}{7})^{3-x} = \frac{6}{21}$

Сократим дробь: $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.

Получаем уравнение:

$(\frac{2}{7})^{3-x} = (\frac{2}{7})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$3 - x = 1$

$x = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

4) $2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^{x-1} = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}$

Сгруппируем слагаемые с основанием 2 в левой части, а с основанием 3 - в правой:

$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-2} + 3^{x-1} + 2 \cdot 3^{x-3}$

Вынесем за скобки общие множители. В левой части вынесем $2^{x-3}$, в правой - $3^{x-3}$.

В левой части: $2^{x-3} \cdot 2^4 + 2^{x-3} \cdot 2^2 + 2^{x-3} = 2^{x-3}(2^4 + 2^2 + 1) = 2^{x-3}(16 + 4 + 1) = 21 \cdot 2^{x-3}$.

В правой части: $3^{x-3} \cdot 3^1 + 3^{x-3} \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^{x-3} = 3^{x-3}(3 + 9 + 2) = 14 \cdot 3^{x-3}$.

Уравнение принимает вид:

$21 \cdot 2^{x-3} = 14 \cdot 3^{x-3}$

Разделим обе части на $3^{x-3}$ (так как $3^{x-3} > 0$):

$21 \cdot \frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = 14$

$21 \cdot (\frac{2}{3})^{x-3} = 14$

Разделим обе части на 21:

$(\frac{2}{3})^{x-3} = \frac{14}{21}$

Сократим дробь: $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.

Получаем уравнение:

$(\frac{2}{3})^{x-3} = (\frac{2}{3})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 1$

$x = 1 + 3 = 4$

Ответ: 4