Номер 700, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

700. При каких значениях $k$ уравнение $(k-1)4^x - 4 \cdot 2^x + (k+2)=0$ имеет хотя бы один корень?

Данное уравнение является показательным. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к алгебраическому. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$, то для новой переменной должно выполняться условие $t > 0$. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$.

После подстановки замены в исходное уравнение, мы получаем уравнение относительно $t$, которое является квадратным при $k \neq 1$:

$(k-1)t^2 - 4t + (k+2) = 0$

Задача сводится к нахождению всех таких значений параметра $k$, при которых это уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($t > 0$).

Рассмотрим отдельно случай, когда уравнение не является квадратным. Это происходит, когда коэффициент при $t^2$ обращается в ноль, то есть $k-1=0$, откуда $k=1$. При $k=1$ уравнение принимает вид:

$(1-1)t^2 - 4t + (1+2) = 0$

$-4t + 3 = 0$

$t = \frac{3}{4}$

Полученный корень $t = 3/4$ удовлетворяет условию $t>0$. Это означает, что при $k=1$ исходное уравнение имеет единственный корень $x = \log_2(3/4)$. Следовательно, значение $k=1$ входит в искомое множество.

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $k \neq 1$. Для существования действительных корней у квадратного уравнения $(k-1)t^2 - 4t + (k+2) = 0$ его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

$D = (-4)^2 - 4(k-1)(k+2) = 16 - 4(k^2 + k - 2) = 16 - 4k^2 - 4k + 8 = -4k^2 - 4k + 24$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$-4k^2 - 4k + 24 \ge 0$

$k^2 + k - 6 \le 0$

Корнями уравнения $k^2 + k - 6 = 0$ являются $k_1=-3$ и $k_2=2$. Неравенство выполняется на отрезке между корнями: $k \in [-3, 2]$.

Теперь нам нужно из этого отрезка (исключая $k=1$) выбрать те значения $k$, при которых есть хотя бы один положительный корень $t$. Проанализируем это условие, используя теорему Виета для корней $t_1$ и $t_2$. Сумма корней $S = t_1+t_2 = \frac{4}{k-1}$, а произведение $P = t_1t_2 = \frac{k+2}{k-1}$.

Если $k > 1$, то из условия $k \in [-3, 2]$ следует, что $k \in (1, 2]$. На этом интервале ветви параболы $f(t)=(k-1)t^2 - 4t + (k+2)$ направлены вверх, а знаменатель $k-1$ положителен, поэтому сумма корней $S = \frac{4}{k-1} > 0$. Если сумма действительных корней положительна, то хотя бы один из корней положителен. Таким образом, все значения $k \in (1, 2]$ являются решением.

Если $k < 1$, то из условия $k \in [-3, 2]$ следует, что $k \in [-3, 1)$. В этом случае ветви параболы $f(t)$ направлены вниз. Для существования хотя бы одного положительного корня у параболы с ветвями вниз необходимо, чтобы один корень был положительным, а другой — отрицательным (случай двух положительных корней невозможен). Условие, что корни имеют разные знаки, равносильно тому, что их произведение отрицательно: $P < 0$.

$\frac{k+2}{k-1} < 0$

Поскольку на рассматриваемом промежутке $k < 1$ знаменатель $k-1$ отрицателен, для выполнения неравенства числитель $k+2$ должен быть положителен: $k+2>0$, то есть $k>-2$. Пересекая это с $k \in [-3, 1)$, получаем $k \in (-2, 1)$. При $k=-2$ произведение $P=0$, а корни $t_1=0, t_2=-4/3$, ни один из которых не положителен, поэтому $k=-2$ не подходит.

Собирая воедино все полученные результаты: $k=1$ (линейный случай), $k \in (1, 2]$ (квадратный случай с $k>1$) и $k \in (-2, 1)$ (квадратный случай с $k<1$), мы получаем объединение этих множеств: $(-2, 1) \cup \{1\} \cup (1, 2]$.

Таким образом, итоговое множество значений $k$, при которых исходное уравнение имеет хотя бы один корень, представляет собой промежуток $(-2, 2]$.

Ответ: $k \in (-2, 2]$.