Номер 705, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

705. Решить графически уравнение:

1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 1;$

2) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = x - \frac{1}{2};$

3) $2^x = -x - \frac{7}{4};$

4) $3^x = 11 - x.$

Чтобы решить уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 1$ графически, рассмотрим две функции: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x + 1$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения их графиков.

График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, функция является непрерывной и убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$ и $(-1, 3)$.

График функции $y = x + 1$ — это прямая линия. Функция является возрастающей. Для построения прямой найдем две точки, например, $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что они пересекаются в точке $(0, 1)$. Поскольку одна функция ($y = x+1$) строго возрастает, а другая ($y = (\frac{1}{3})^x$) строго убывает, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, абсцисса этой точки $x=0$ является единственным решением уравнения.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:
$(\frac{1}{3})^0 = 0 + 1$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

Чтобы решить уравнение $(\frac{1}{2})^x = x - \frac{1}{2}$ графически, рассмотрим две функции: $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x - \frac{1}{2}$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения их графиков.

График функции $y = (\frac{1}{2})^x$ — это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, \frac{1}{2})$.

График функции $y = x - \frac{1}{2}$ — это прямая линия, которая является возрастающей. Для построения прямой найдем две точки, например, $(0, -\frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Видно, что они пересекаются в одной точке. Подбором можно найти, что это точка $(1, \frac{1}{2})$, так как при $x=1$: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$ и $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Поскольку показательная функция является выпуклой вниз и убывающей, а прямая — возрастающая, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, $x=1$ является единственным решением.

Выполним проверку:
$(\frac{1}{2})^1 = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

Для графического решения уравнения $2^x = -x - \frac{7}{4}$ построим графики функций $y = 2^x$ и $y = -x - \frac{7}{4}$ в одной системе координат.

График функции $y = 2^x$ — это показательная функция. Основание $a = 2 > 1$, поэтому функция является возрастающей. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

График функции $y = -x - \frac{7}{4}$ — это прямая линия. Функция является убывающей. Для построения прямой найдем две точки, например, $(0, -1.75)$ и $(-1.75, 0)$.

Построим графики. Так как одна функция возрастает, а другая убывает на всей области определения, они могут пересечься не более чем в одной точке. Попробуем найти решение подбором. При $x=-2$ имеем: $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ и $y = -(-2) - \frac{7}{4} = 2 - \frac{7}{4} = \frac{8-7}{4} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(-2, \frac{1}{4})$. Следовательно, $x=-2$ — единственное решение уравнения.

Проверка:
$2^{-2} = -(-2) - \frac{7}{4}$
$\frac{1}{4} = 2 - \frac{7}{4}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
Равенство верное.

Ответ: $x=-2$.

Для графического решения уравнения $3^x = 11 - x$ построим графики функций $y = 3^x$ и $y = 11 - x$.

График функции $y = 3^x$ — возрастающая показательная функция (основание $a=3 > 1$), проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(2, 9)$.

График функции $y = 11 - x$ — убывающая прямая, проходящая через точки $(0, 11)$ и $(11, 0)$.

Построим графики в одной системе координат. Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором. При $x=2$ получаем: $y = 3^2 = 9$ и $y = 11 - 2 = 9$. Значит, графики пересекаются в точке $(2, 9)$. Абсцисса этой точки $x=2$ является единственным решением уравнения.

Проверка:
$3^2 = 11 - 2$
$9 = 9$
Равенство верное.

Ответ: $x=2$.