Номер 711, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

711. Решить графически неравенство:

1) $ \left(\frac{1}{3}\right)^x \ge x+1; $

2) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x < x-\frac{1}{2}; $

3) $ 2^x \le 9-\frac{1}{3}x; $

4) $ 3^x > -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}. $

1) $(\frac{1}{3})^x \ge x + 1$

Для решения этого неравенства графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x + 1$.

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$, так как любое число в нулевой степени равно 1. Другие точки для построения: при $x = -1, y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$; при $x = 1, y = \frac{1}{3}$.

Функция $y = x + 1$ — это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = -1$, то $y = 0$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(0, 1)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне), чем график функции $y = x + 1$. Глядя на чертеж, это условие выполняется для всех $x$, которые меньше или равны абсциссе точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$.

2) $(\frac{1}{2})^x < x - \frac{1}{2}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x - \frac{1}{2}$.

Функция $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{2})$, $(-1, 2)$.

Функция $y = x - \frac{1}{2}$ — это линейная функция (прямая). Для построения возьмем точки: если $x=0$, то $y = -\frac{1}{2}$; если $x=\frac{1}{2}$, то $y=0$. Прямая проходит через точки $(0, -\frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков. Можно заметить, что при $x=1$ обе функции принимают одинаковое значение: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$ и $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(1, \frac{1}{2})$.

Неравенство требует найти такие $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ находится строго ниже графика функции $y = x - \frac{1}{2}$. Из графиков видно, что это происходит для всех $x$ справа от точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x > 1$.

Ответ: $x > 1$.

3) $2^x < 9 - \frac{1}{3}x$

Построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = 9 - \frac{1}{3}x$.

Функция $y = 2^x$ — это возрастающая показательная функция (основание $a=2 > 1$). График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 8)$.

Функция $y = 9 - \frac{1}{3}x$ — это линейная функция (прямая), убывающая. Для построения возьмем точки: если $x=0$, то $y=9$; если $x=3$, то $y = 9 - \frac{1}{3}(3) = 9 - 1 = 8$. Прямая проходит через точки $(0, 9)$ и $(3, 8)$.

Из вычислений для построения мы уже видим, что графики пересекаются в точке $(3, 8)$. Так как одна функция возрастающая, а другая убывающая, точка пересечения единственная.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = 2^x$ находится строго ниже графика функции $y = 9 - \frac{1}{3}x$. Это выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x < 3$.

Ответ: $x < 3$.

4) $3^x > -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = 3^x$ и $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$.

Функция $y = 3^x$ — это возрастающая показательная функция. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, \frac{1}{3})$.

Функция $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ — это линейная функция (прямая), убывающая. Для построения возьмем точки: если $x=-1$, то $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$; если $x=1$, то $y = -\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3} = -1$. Прямая проходит через точки $(-1, \frac{1}{3})$ и $(1, -1)$.

Из вычислений видно, что графики пересекаются в точке $(-1, \frac{1}{3})$. Поскольку показательная функция возрастает, а линейная убывает, точка пересечения одна.

Неравенство требует найти такие $x$, при которых график функции $y = 3^x$ находится строго выше графика функции $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Это выполняется для всех $x$ справа от точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x > -1$.

Ответ: $x > -1$.