Номер 715, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

715. $ (2.5)^{(x+1)^2} \cdot (0.4)^{4|x-1|} \ge \left(\frac{25}{4}\right)^{6.5} $

Для решения данного показательного неравенства приведем все основания степеней к одному числу.

Исходное неравенство:

$(2,5)^{(x+1)^2} \cdot (0,4)^{4|x-1|} \ge (\frac{25}{4})^{6,5}$

Представим основания $2,5$, $0,4$ и $\frac{25}{4}$ в виде степеней с одним и тем же основанием. Удобно выбрать основание $\frac{5}{2}$:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$

$\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(\frac{5}{2})^{(x+1)^2} \cdot ((\frac{5}{2})^{-1})^{4|x-1|} \ge ((\frac{5}{2})^2)^{6,5}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{5}{2})^{(x+1)^2} \cdot (\frac{5}{2})^{-4|x-1|} \ge (\frac{5}{2})^{2 \cdot 6,5}$

$(\frac{5}{2})^{(x+1)^2 - 4|x-1|} \ge (\frac{5}{2})^{13}$

Так как основание степени $\frac{5}{2} > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$(x+1)^2 - 4|x-1| \ge 13$

Раскроем квадрат суммы и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x + 1 - 4|x-1| - 13 \ge 0$

$x^2 + 2x - 12 - 4|x-1| \ge 0$

Для решения этого неравенства с модулем рассмотрим два случая.

1. Случай, когда $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + 2x - 12 - 4(x-1) \ge 0$

$x^2 + 2x - 12 - 4x + 4 \ge 0$

$x^2 - 2x - 8 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней, получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y=x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 8 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [4, \infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x \ge 1$), получаем решение: $x \in [4, \infty)$.

2. Случай, когда $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + 2x - 12 - 4(1-x) \ge 0$

$x^2 + 2x - 12 - 4 + 4x \ge 0$

$x^2 + 6x - 16 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$.

Графиком функции $y=x^2 + 6x - 16$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 6x - 16 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -8] \cup [2, \infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x < 1$), получаем решение: $x \in (-\infty, -8]$.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$(-\infty, -8] \cup [4, \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [4, \infty)$.