Номер 717, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (717–721).

$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 5^{x+y} = 25; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 3^{x^2+y} = \frac{1}{9}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 1, \\ 2^{x-y} = 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ 3^{x-y} = 81. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ 5^{x+y} = 25; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение системы. Так как $25 = 5^2$, мы можем записать: $5^{x+y} = 5^2$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x + y = 2$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 2; \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$: $(2x - y) + (x + y) = 1 + 2$
$3x = 3$
$x = 1$
Подставим значение $x = 1$ в уравнение $x + y = 2$: $1 + y = 2$
$y = 1$
Проверим решение $(1; 1)$ в исходной системе: $2(1) - 1 = 1$
$5^{1+1} = 5^2 = 25$
Решение верно.
Ответ: $(1; 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 2, \\ 3^{x^2+y} = \frac{1}{9}; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение. Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, мы можем записать: $3^{x^2+y} = 3^{-2}$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x^2 + y = -2$
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + y = -2; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x - 2$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $x^2 + (x - 2) = -2$
$x^2 + x - 2 = -2$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = x_1 - 2 = 0 - 2 = -2$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = x_2 - 2 = -1 - 2 = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(0; -2)$, $(-1; -3)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ 2^{x-y} = 8; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение. Так как $8 = 2^3$, мы можем записать: $2^{x-y} = 2^3$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x - y = 3$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 1 + 3$
$2x = 4$
$x = 2$
Подставим значение $x = 2$ в уравнение $x + y = 1$: $2 + y = 1$
$y = 1 - 2 = -1$
Проверим решение $(2; -1)$ в исходной системе: $2 + (-1) = 1$
$2^{2 - (-1)} = 2^{3} = 8$
Решение верно.
Ответ: $(2; -1)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ 3^{x-y} = 81; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение. Так как $81 = 3^4$, мы можем записать: $3^{x-y} = 3^4$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x - y = 4$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - y = 4; \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 2y) - (x - y) = 3 - 4$
$x + 2y - x + y = -1$
$3y = -1$
$y = -\frac{1}{3}$
Подставим значение $y = -\frac{1}{3}$ в уравнение $x - y = 4$: $x - (-\frac{1}{3}) = 4$
$x + \frac{1}{3} = 4$
$x = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$
Проверим решение $(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3})$ в исходной системе: $\frac{11}{3} + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{11}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$3^{\frac{11}{3} - (-\frac{1}{3})} = 3^{\frac{12}{3}} = 3^4 = 81$
Решение верно.
Ответ: $(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3})$.