Номер 710, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

710. При каких значениях $x$ значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ больше значений функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 12$?

Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = (\frac{1}{4})^x$ больше значений функции $y = (\frac{1}{2})^x + 12$, необходимо решить следующее неравенство:

$(\frac{1}{4})^x > (\frac{1}{2})^x + 12$

Преобразуем левую часть неравенства, приведя ее к основанию $\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{2})^2$:

$((\frac{1}{2})^2)^x > (\frac{1}{2})^x + 12$

$(\frac{1}{2})^{2x} > (\frac{1}{2})^x + 12$

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$t^2 > t + 12$

$t^2 - t - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

Парабола $y = t^2 - t - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 12 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t < -3$ или $t > 4$.

Учитывая наше ограничение $t > 0$, из двух полученных интервалов нам подходит только $t > 4$.

Теперь выполним обратную замену:

$(\frac{1}{2})^x > 4$

Представим число 4 как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$4 = 2^2 = ((\frac{1}{2})^{-1})^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что при сравнении показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.