Номер 709, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

709. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt{6^x};$

2) $y = \sqrt[3]{-5^x};$

3) $y = \frac{1}{10^x};$

4) $y = \frac{1}{2^x - 1};$

5) $y = \sqrt{25^x - 5^x};$

6) $y = \sqrt{4^x - 1}.$

1) Для функции $y = \sqrt{6^x}$ область определения (D(y)) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$6^x \ge 0$.
Показательная функция $a^x$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a=6$) всегда принимает только положительные значения, то есть $6^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, неравенство $6^x \ge 0$ выполняется для всех $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[3]{-5^x}$ область определения (D(y)) не имеет ограничений, так как корень нечетной степени (кубический корень) можно извлекать из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля).
Выражение $-5^x$ определено для всех действительных значений $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{1}{10^x}$ область определения (D(y)) находится из условия, что знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$10^x \neq 0$.
Показательная функция $a^x$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a=10$) всегда принимает только положительные значения, поэтому $10^x$ никогда не равно нулю. Ограничений на $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Для функции $y = \frac{1}{2^x - 1}$ область определения (D(y)) находится из условия, что знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$2^x - 1 \neq 0$
$2^x \neq 1$
Представим 1 как $2^0$:
$2^x \neq 2^0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

5) Для функции $y = \sqrt{25^x - 5^x}$ область определения (D(y)) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$25^x - 5^x \ge 0$
Представим $25^x$ как $(5^2)^x = 5^{2x}$:
$5^{2x} - 5^x \ge 0$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(5^x - 1) \ge 0$
Поскольку $5^x > 0$ для любого $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $5^x$, не меняя знака неравенства:
$5^x - 1 \ge 0$
$5^x \ge 1$
$5^x \ge 5^0$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

6) Для функции $y = \sqrt{4^x - 1}$ область определения (D(y)) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$4^x - 1 \ge 0$
$4^x \ge 1$
Представим 1 как $4^0$:
$4^x \ge 4^0$
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.