Номер 704, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

704. 1) $5^{x-1} \le \sqrt{5}$;

2) $3^{\frac{x}{2}} > 9$;

3) $3^{x^2-4} \ge 1$;

4) $5^{2x^2-18} < 1$.

1) Решим неравенство $5^{x-1} \leq \sqrt{5}$.

Сначала приведем обе части неравенства к одному основанию, равному 5. Правую часть можно представить как степень числа 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид:

$5^{x-1} \leq 5^{\frac{1}{2}}$

Поскольку основание степени $a=5$ больше 1 ($5 > 1$), показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x-1 \leq \frac{1}{2}$

Теперь решим это линейное неравенство относительно $x$:

$x \leq \frac{1}{2} + 1$

$x \leq \frac{3}{2}$

Решение можно записать в виде промежутка: $x \in (-\infty; 1.5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

2) Решим неравенство $3^{x^2} > 9$.

Приведем обе части к основанию 3. Число 9 можно представить как $3^2$.

Неравенство принимает вид:

$3^{x^2} > 3^2$

Так как основание $a=3$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2 > 2$

Решим полученное квадратичное неравенство $x^2 - 2 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2 = 0$:

$x^2 = 2 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

Графиком функции $y=x^2-2$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, решение неравенства:

$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$

Решение в виде объединения промежутков: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $3^{x^2-4} \geq 1$.

Приведем обе части к основанию 3. Единицу можно представить как $1 = 3^0$.

Неравенство принимает вид:

$3^{x^2-4} \geq 3^0$

Поскольку основание $a=3$ больше 1, функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2-4 \geq 0$

Решим квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$:

$x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm2$

Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \geq 0$ выполняется, когда $x$ находится на корнях или за их пределами. Таким образом, решение:

$x \leq -2$ или $x \geq 2$

Решение в виде объединения промежутков: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $5^{2x^2-18} < 1$.

Приведем обе части к основанию 5. Единицу можно представить как $1 = 5^0$.

Неравенство принимает вид:

$5^{2x^2-18} < 5^0$

Так как основание $a=5$ больше 1, функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2-18 < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2-9 < 0$

Решим полученное квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$:

$x^2 = 9 \Rightarrow x_{1,2} = \pm3$

Графиком функции $y=x^2-9$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны, когда $x$ находится между корнями. Таким образом, решение:

$-3 < x < 3$

Решение в виде промежутка: $x \in (-3; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.