Номер 713, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (713—716).

713. 1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$;

2) $0,3^{\sqrt{30-x}} > 0,3^x$.

1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$

Поскольку основание степени $11 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству для показателей степеней с тем же знаком:

$\sqrt{x+6} > x$

Решим это иррациональное неравенство. Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

Теперь рассмотрим два случая для решения неравенства $\sqrt{x+6} > x$.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна, то есть $x < 0$.
В этом случае левая часть, $\sqrt{x+6}$, всегда неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из этого случая, которые удовлетворяют ОДЗ.

Объединим условия $x < 0$ и $x \ge -6$:

$x \in [-6, 0)$

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна, то есть $x \ge 0$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+6})^2 > x^2$

$x+6 > x^2$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - x - 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями:

$x \in (-2, 3)$

Теперь найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge 0$):

$x \in [0, 3)$

Объединим решения из обоих случаев:

$[-6, 0) \cup [0, 3) = [-6, 3)$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -6$).

Ответ: $x \in [-6, 3)$.

2) $0.3^{\sqrt{30-x}} > 0.3^x$

Поскольку основание степени $0.3$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$\sqrt{30-x} < x$

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех неравенств:

$ \begin{cases} 30-x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x > 0 & \text{(правая часть должна быть строго больше левой, которая неотрицательна)} \\ (\sqrt{30-x})^2 < x^2 & \text{(возведение в квадрат обеих неотрицательных частей)} \end{cases} $

Решим эту систему:

1. $30-x \ge 0 \implies x \le 30$

2. $x > 0$

3. $30-x < x^2 \implies x^2 + x - 30 > 0$

Для решения третьего неравенства найдем корни уравнения $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы $y=x^2+x-30$ направлены вверх, неравенство $x^2+x-30 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями:

$x \in (-\infty, -6) \cup (5, \infty)$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств системы:

$ \begin{cases} x \le 30 \\ x > 0 \\ x \in (-\infty, -6) \cup (5, \infty) \end{cases} $

Из первых двух условий получаем $x \in (0, 30]$.
Пересекаем этот результат с третьим условием: $(0, 30] \cap ((-\infty, -6) \cup (5, \infty))$.
Интервал $(0, 30]$ не пересекается с $(-\infty, -6)$.
Пересечение $(0, 30]$ и $(5, \infty)$ дает интервал $(5, 30]$.

Следовательно, решение системы и исходного неравенства: $x \in (5, 30]$.

Ответ: $x \in (5, 30]$.