Номер 695, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

695. 1) $3^{2x+6} = 2^{x+3};$

2) $5^{x-2} = 4^{2x-4};$

3) $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2};$

4) $9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}.$

1) Исходное уравнение: $3^{2x+6} = 2^{x+3}$.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся 2 за скобки в показателе степени: $3^{2(x+3)} = 2^{x+3}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(3^2)^{x+3} = 2^{x+3}$, что дает $9^{x+3} = 2^{x+3}$.

Если степени с разными основаниями равны, то это возможно, когда показатель степени равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

Приравняем показатель к нулю:

$x+3 = 0$

$x = -3$

Другой способ решения — разделить обе части уравнения на $2^{x+3}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{9^{x+3}}{2^{x+3}} = 1$

Используем свойство частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$: $(\frac{9}{2})^{x+3} = 1$.

Представим 1 как $(\frac{9}{2})^0$:

$(\frac{9}{2})^{x+3} = (\frac{9}{2})^0$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Ответ: $x = -3$.

2) Исходное уравнение: $5^{x-2} = 4^{2x-4}$.

Преобразуем показатель степени в правой части уравнения, вынеся 2 за скобки: $2x-4 = 2(x-2)$.

Уравнение принимает вид: $5^{x-2} = 4^{2(x-2)}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части: $5^{x-2} = (4^2)^{x-2}$, что дает $5^{x-2} = 16^{x-2}$.

Как и в предыдущем примере, равенство возможно, когда показатель степени равен нулю.

$x-2 = 0$

$x = 2$

Либо разделим обе части на $16^{x-2}$:

$(\frac{5}{16})^{x-2} = 1$

$(\frac{5}{16})^{x-2} = (\frac{5}{16})^0$

$x-2=0 \Rightarrow x=2$

Ответ: $x = 2$.

3) Исходное уравнение: $2^x \cdot 3^x = 36^{x^2}$.

Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, преобразуем левую часть:

$(2 \cdot 3)^x = 36^{x^2}$

$6^x = 36^{x^2}$

Приведем обе части к одному основанию 6. Так как $36 = 6^2$, получаем:

$6^x = (6^2)^{x^2}$

$6^x = 6^{2x^2}$

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$x = 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x-1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

или

$2x-1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$.

4) Исходное уравнение: $9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется подкоренным выражением: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Преобразуем левую часть: $9^{-\sqrt{x-1}} = (3^2)^{-\sqrt{x-1}} = 3^{-2\sqrt{x-1}}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-2\sqrt{x-1}} = 3^{-3}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-2\sqrt{x-1} = -3$

Разделим обе части на -2:

$\sqrt{x-1} = \frac{3}{2}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x-1})^2 = (\frac{3}{2})^2$

$x-1 = \frac{9}{4}$

Найдем $x$:

$x = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 1$). $\frac{13}{4} = 3.25$, что больше 1. Следовательно, корень подходит.

Ответ: $x = \frac{13}{4}$.