Номер 690, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

690. 1) $7^x - 7^{x-1} = 6;$

2) $3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315;$

3) $5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140;$

4) $2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0.$

1) Исходное уравнение: $7^x - 7^{x-1} = 6$.
Воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$. Перепишем $7^{x-1}$ как $7^x \cdot 7^{-1}$ или $\frac{7^x}{7}$.
Уравнение примет вид: $7^x - \frac{7^x}{7} = 6$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 6$
Упростим выражение в скобках:
$1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$
Чтобы найти $7^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{6}{7}$:
$7^x = 6 \div \frac{6}{7} = 6 \cdot \frac{7}{6} = 7$
Получили уравнение $7^x = 7$. Так как $7 = 7^1$, то можем приравнять показатели степеней:
$x = 1$
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315$.
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2y-4}$.
Для этого представим каждый член уравнения в виде произведения с $3^{2y-4}$:
$3^{2y-1} = 3^{(2y-4)+3} = 3^{2y-4} \cdot 3^3$
$3^{2y-2} = 3^{(2y-4)+2} = 3^{2y-4} \cdot 3^2$
Уравнение примет вид:
$3^{2y-4} \cdot 3^3 + 3^{2y-4} \cdot 3^2 - 3^{2y-4} = 315$
Вынесем $3^{2y-4}$ за скобки:
$3^{2y-4} (3^3 + 3^2 - 1) = 315$
Вычислим значение в скобках:
$27 + 9 - 1 = 35$
Получаем уравнение:
$3^{2y-4} \cdot 35 = 315$
Разделим обе части уравнения на 35:
$3^{2y-4} = \frac{315}{35} = 9$
Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.
$3^{2y-4} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$2y - 4 = 2$
$2y = 6$
$y = 3$
Ответ: $3$.

3) Исходное уравнение: $5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$.
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{3x-2}$.
Представим $5^{3x}$ как $5^{(3x-2)+2} = 5^{3x-2} \cdot 5^2$.
Уравнение примет вид:
$5^{3x-2} \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$
Вынесем $5^{3x-2}$ за скобки:
$5^{3x-2} (5^2 + 3) = 140$
Вычислим значение в скобках:
$25 + 3 = 28$
Получаем уравнение:
$5^{3x-2} \cdot 28 = 140$
Разделим обе части уравнения на 28:
$5^{3x-2} = \frac{140}{28} = 5$
Так как $5 = 5^1$, получаем уравнение $5^{3x-2} = 5^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$3x - 2 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.
Представим все показательные члены через $2^x$:
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$2 \cdot 2^x + 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2^x\right) - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$
$2 \cdot 2^x + \frac{3}{2} \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$
Для упрощения введем замену: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение с новой переменной:
$2t + \frac{3}{2}t - 5t + 6 = 0$
Сгруппируем члены с $t$ и перенесем свободный член в правую часть:
$t \left(2 + \frac{3}{2} - 5\right) = -6$
Вычислим значение в скобках:
$2 + 1.5 - 5 = 3.5 - 5 = -1.5 = -\frac{3}{2}$
Получаем уравнение:
$t \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6$
Найдем $t$:
$t = -6 \div \left(-\frac{3}{2}\right) = -6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 4$
Значение $t=4$ удовлетворяет условию $t>0$.
Вернемся к исходной переменной:
$2^x = t \Rightarrow 2^x = 4$
Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.
$2^x = 2^2$
Следовательно, $x = 2$.
Ответ: $2$.