Номер 684, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

684. 1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0;$

2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0;$

3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0;$

4) $64^x - 8^x - 56 = 0.$

1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Запишем $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$. Тогда уравнение примет вид:

$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят по условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $t_1 = 1$, то $3^x = 1$. Так как $1 = 3^0$, получаем $3^x = 3^0$, откуда $x = 0$.

2. Если $t_2 = 3$, то $3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $3^x = 3^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Представим $16^x$ как $(4^2)^x = (4^x)^2$. Уравнение перепишется в виде:

$(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Введем замену: пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 17t + 16 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня положительны, значит, оба являются решениями для $t$.

Производим обратную замену:

1. Если $t_1 = 1$, то $4^x = 1$. Поскольку $1 = 4^0$, имеем $4^x = 4^0$, следовательно $x = 0$.

2. Если $t_2 = 16$, то $4^x = 16$. Поскольку $16 = 4^2$, имеем $4^x = 4^2$, следовательно $x = 2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение можно записать так:

$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$

Сделаем замену переменной $t = 5^x$. Условие для $t$ — $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. Если $t_1 = 1$, то $5^x = 1$. Так как $1 = 5^0$, то $5^x = 5^0$, откуда $x = 0$.

2. Если $t_2 = 5$, то $5^x = 5$. Так как $5 = 5^1$, то $5^x = 5^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

4) $64^x - 8^x - 56 = 0$

Так как $64^x = (8^2)^x = (8^x)^2$, перепишем уравнение:

$(8^x)^2 - 8^x - 56 = 0$

Введем замену $t = 8^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 56 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверяем условие $t > 0$. Корень $t_1 = 8$ подходит. Корень $t_2 = -7$ не подходит, так как $8^x$ не может быть отрицательным.

Остается одно решение для $t$: $t=8$.

Делаем обратную замену:

$8^x = 8$. Поскольку $8 = 8^1$, получаем $8^x = 8^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.