Страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (679—699).

679. 1) $4^{x-1} = 1$; 2) $0,3^{3x-2} = 1$; 3) $2^{2x} = 2^{4\sqrt{3}}$; 4) $\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$.

1) Дано показательное уравнение $4^{x-1} = 1$.
Чтобы решить это уравнение, нужно привести обе его части к одному основанию. Мы знаем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Поэтому мы можем представить $1$ как $4^0$.
Уравнение принимает вид:
$4^{x-1} = 4^0$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x - 1 = 0$
Отсюда находим $x$:
$x = 1$
Ответ: $1$.

2) Дано показательное уравнение $0,3^{3x-2} = 1$.
Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $0,3$.
$1 = 0,3^0$
Подставим это в уравнение:
$0,3^{3x-2} = 0,3^0$
Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$3x - 2 = 0$
Решаем полученное линейное уравнение:
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Дано показательное уравнение $2^{2x} = 2^{4\sqrt{3}}$.
В этом уравнении основания степеней в левой и правой частях уже одинаковы и равны 2.
Поэтому мы можем сразу приравнять показатели степеней:
$2x = 4\sqrt{3}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{4\sqrt{3}}{2}$
$x = 2\sqrt{3}$
Ответ: $2\sqrt{3}$.

4) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^{3x} = (\frac{1}{3})^{-2}$.
Основания степеней в обеих частях уравнения равны $\frac{1}{3}$.
Следовательно, мы можем приравнять показатели этих степеней:
$3x = -2$
Решаем это простое линейное уравнение, разделив обе части на 3:
$x = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

680. 1) $27^x = \frac{1}{3}$;

2) $400^x = \frac{1}{20}$;

3) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$;

4) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$.

1) Решим уравнение $27^x = \frac{1}{3}$.

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобным общим основанием является число 3.

Представим число 27 в виде степени с основанием 3: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.

Представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(3^3)^x = 3^{-1}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части:

$3^{3x} = 3^{-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = -1$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$

2) Решим уравнение $400^x = \frac{1}{20}$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию. Заметим, что $400 = 20^2$. Общим основанием будет 20.

Представим 400 как степень числа 20: $400 = 20^2$.

Представим $\frac{1}{20}$ как степень числа 20: $\frac{1}{20} = 20^{-1}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(20^2)^x = 20^{-1}$

Упростим левую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$20^{2x} = 20^{-1}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x = -1$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$

3) Решим уравнение $(\frac{1}{5})^x = 25$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию 5.

Представим основание левой части $\frac{1}{5}$ как степень числа 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Представим число 25 в правой части как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Подставляем в исходное уравнение:

$(5^{-1})^x = 5^2$

Упрощаем левую часть:

$5^{-x} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 2$

Умножаем обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -2$

Ответ: $x = -2$

4) Решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$.

В этом уравнении удобно привести правую часть к основанию левой части, то есть к $\frac{1}{3}$.

Выясним, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 81: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$. Таким образом, $81 = 3^4$.

Тогда правую часть можно записать так:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^4$

Поскольку основания в обеих частях уравнения одинаковы, можем приравнять показатели степеней:

$x = 4$

Ответ: $x = 4$

681. 1) $3 \cdot 9^x = 81;$

2) $2 \cdot 4^x = 64;$

3) $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1;$

4) $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2;$

5) $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5};$

6) $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}.$

1) Для решения уравнения $3 \cdot 9^x = 81$ необходимо привести все члены уравнения к одному основанию. Наиболее удобным основанием является 3.
Представим число $9$ как $3^2$ и число $81$ как $3^4$.
$3^1 \cdot (3^2)^x = 3^4$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$3^1 \cdot 3^{2x} = 3^4$
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{1+2x} = 3^4$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$1 + 2x = 4$
$2x = 4 - 1$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $1,5$.

2) Решим уравнение $2 \cdot 4^x = 64$. Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$4^x = \frac{64}{2}$
$4^x = 32$
Теперь приведем обе части к одному основанию. Общим основанием является 2, так как $4=2^2$ и $32=2^5$.
$(2^2)^x = 2^5$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{2x} = 2^5$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $2,5$.

3) В уравнении $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$ левая часть представляет собой произведение степеней с одинаковым основанием. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{(x+\frac{1}{2}) + (x-2)} = 1$
Сложим показатели:
$3^{2x - \frac{3}{2}} = 1$
Представим $1$ как степень с основанием 3. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
$3^{2x - \frac{3}{2}} = 3^0$
Приравниваем показатели:
$2x - \frac{3}{2} = 0$
$2x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2} \div 2 = \frac{3}{4} = 0,75$
Ответ: $0,75$.

4) Решим уравнение $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2$.
В левой части сложим показатели степеней с основанием 0,5:
$0,5^{(x+7)+(1-2x)} = 2$
$0,5^{-x+8} = 2$
Теперь приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Подставим это в уравнение:
$(2^{-1})^{-x+8} = 2^1$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{-(-x+8)} = 2^1$
$2^{x-8} = 2^1$
Приравниваем показатели:
$x - 8 = 1$
$x = 9$
Ответ: $9$.

5) В уравнении $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5}$ все члены уже имеют одинаковое основание 0,6. Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней.
Для левой части (произведение степеней): $0,6^{x+3}$.
Для правой части (деление степеней, $a^m / a^n = a^{m-n}$): $0,6^{2x-5}$.
Получаем уравнение:
$0,6^{x+3} = 0,6^{2x-5}$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$x+3 = 2x-5$
Переносим члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$3+5 = 2x-x$
$x = 8$
Ответ: $8$.

6) Решим уравнение $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$.
Приведем все члены к основанию 6. Для этого представим $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$.
$6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^1 \cdot (6^{-1})^{2x}$
Упростим обе части уравнения с помощью свойств степеней.
Левая часть: $6^{3x-1}$.
Правая часть: $6^1 \cdot 6^{-2x} = 6^{1-2x}$.
Получаем уравнение:
$6^{3x-1} = 6^{1-2x}$
Приравниваем показатели:
$3x-1 = 1-2x$
$3x+2x = 1+1$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5} = 0,4$
Ответ: $0,4$.

682. 1) $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108;$

2) $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30;$

3) $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x} = 28;$

4) $3^{x-1} - 3^{x} + 3^{x+1} = 63.$

1) $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$3^{2x} \cdot 3^{-1} + 3^{2x} = 108$
Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:
$3^{2x}(3^{-1} + 1) = 108$
$3^{2x}(\frac{1}{3} + 1) = 108$
$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 108$
Теперь выразим $3^{2x}$:
$3^{2x} = 108 \cdot \frac{3}{4}$
$3^{2x} = 27 \cdot 3$
$3^{2x} = 81$
Представим 81 как степень с основанием 3:
$81 = 3^4$
Получаем уравнение:
$3^{2x} = 3^4$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30$

Используем свойства степеней и вынесем за скобки общий множитель $2^{3x-2}$ (степень с наименьшим показателем):
$2^{3x-2} \cdot 2^4 - 2^{3x-2} = 30$
$2^{3x-2}(2^4 - 1) = 30$
$2^{3x-2}(16 - 1) = 30$
$2^{3x-2} \cdot 15 = 30$
Разделим обе части на 15:
$2^{3x-2} = \frac{30}{15}$
$2^{3x-2} = 2$
Представим 2 как $2^1$:
$2^{3x-2} = 2^1$
Приравниваем показатели степеней:
$3x - 2 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

3) $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28$

Вынесем за скобки общий множитель $2^x$ (или $2^{x-1}$ для удобства):
$2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x = 28$
$2^x(2 + 2^{-1} + 1) = 28$
$2^x(2 + \frac{1}{2} + 1) = 28$
$2^x(3 + \frac{1}{2}) = 28$
$2^x \cdot \frac{7}{2} = 28$
Выразим $2^x$:
$2^x = 28 \cdot \frac{2}{7}$
$2^x = 4 \cdot 2$
$2^x = 8$
Представим 8 как степень с основанием 2:
$8 = 2^3$
$2^x = 2^3$
Приравниваем показатели:
$x = 3$
Ответ: $x=3$.

4) $3^{x-1} - 3^x + 3^{x+1} = 63$

Вынесем за скобки общий множитель $3^x$ (или $3^{x-1}$ для удобства):
$3^x \cdot 3^{-1} - 3^x \cdot 1 + 3^x \cdot 3^1 = 63$
$3^x(3^{-1} - 1 + 3) = 63$
$3^x(\frac{1}{3} - 1 + 3) = 63$
$3^x(\frac{1}{3} + 2) = 63$
$3^x(\frac{1+6}{3}) = 63$
$3^x \cdot \frac{7}{3} = 63$
Выразим $3^x$:
$3^x = 63 \cdot \frac{3}{7}$
$3^x = 9 \cdot 3$
$3^x = 27$
Представим 27 как степень с основанием 3:
$27 = 3^3$
$3^x = 3^3$
Приравниваем показатели:
$x = 3$
Ответ: $x=3$.

683. 1) $5^x = 8^x$;

2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$;

3) $3^x = 5^{2x}$;

4) $4^x = 3^{\frac{x}{2}}$.

1) $5^x = 8^x$

Данное уравнение является показательным. Для его решения разделим обе части на $8^x$. Так как $8^x > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{5^x}{8^x} = \frac{8^x}{8^x}$

Используя свойство степени $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получим:

$(\frac{5}{8})^x = 1$

Уравнение вида $a^x = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) имеет единственное решение $x=0$, так как любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице.

В данном случае основание степени $\frac{5}{8} \neq 1$, следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$

Это показательное уравнение. Поступим аналогично предыдущему примеру. Разделим обе части уравнения на $(\frac{1}{3})^x$. Это выражение не равно нулю ни при каких значениях $x$.

$\frac{(\frac{1}{2})^x}{(\frac{1}{3})^x} = 1$

Применяя свойство степени $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:

$(\frac{1/2}{1/3})^x = 1$

Упростим основание степени:

$\frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$

Уравнение принимает вид:

$(\frac{3}{2})^x = 1$

Так как основание $\frac{3}{2} \neq 1$, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен нулю.

Следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

3) $3^x = 5^{2x}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^x = 25^x$

Это уравнение аналогично первым двум. Разделим обе части на $25^x$ ($25^x \neq 0$):

$\frac{3^x}{25^x} = 1$

$(\frac{3}{25})^x = 1$

Поскольку основание степени $\frac{3}{25} \neq 1$, показатель степени должен быть равен нулю.

Значит, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

4) $4^x = 3^{\frac{x}{2}}$

Для решения этого показательного уравнения приведем степени к одному показателю $x$. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{mn} = (a^m)^n$:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot x} = (3^{\frac{1}{2}})^x = (\sqrt{3})^x$

Уравнение принимает вид:

$4^x = (\sqrt{3})^x$

Разделим обе части на $(\sqrt{3})^x$, так как это выражение не равно нулю:

$\frac{4^x}{(\sqrt{3})^x} = 1$

$(\frac{4}{\sqrt{3}})^x = 1$

Так как основание $\frac{4}{\sqrt{3}} \neq 1$, равенство верно только при $x=0$.

Альтернативный способ: Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от дробного показателя.

$(4^x)^2 = (3^{\frac{x}{2}})^2$

$4^{2x} = 3^x$

$(4^2)^x = 3^x$

$16^x = 3^x$

Разделим обе части на $16^x$:

$1 = \frac{3^x}{16^x}$

$1 = (\frac{3}{16})^x$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: $x=0$.

684. 1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0;$

2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0;$

3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0;$

4) $64^x - 8^x - 56 = 0.$

1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Запишем $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$. Тогда уравнение примет вид:

$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят по условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $t_1 = 1$, то $3^x = 1$. Так как $1 = 3^0$, получаем $3^x = 3^0$, откуда $x = 0$.

2. Если $t_2 = 3$, то $3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $3^x = 3^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Представим $16^x$ как $(4^2)^x = (4^x)^2$. Уравнение перепишется в виде:

$(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Введем замену: пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 17t + 16 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня положительны, значит, оба являются решениями для $t$.

Производим обратную замену:

1. Если $t_1 = 1$, то $4^x = 1$. Поскольку $1 = 4^0$, имеем $4^x = 4^0$, следовательно $x = 0$.

2. Если $t_2 = 16$, то $4^x = 16$. Поскольку $16 = 4^2$, имеем $4^x = 4^2$, следовательно $x = 2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение можно записать так:

$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$

Сделаем замену переменной $t = 5^x$. Условие для $t$ — $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. Если $t_1 = 1$, то $5^x = 1$. Так как $1 = 5^0$, то $5^x = 5^0$, откуда $x = 0$.

2. Если $t_2 = 5$, то $5^x = 5$. Так как $5 = 5^1$, то $5^x = 5^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

4) $64^x - 8^x - 56 = 0$

Так как $64^x = (8^2)^x = (8^x)^2$, перепишем уравнение:

$(8^x)^2 - 8^x - 56 = 0$

Введем замену $t = 8^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 56 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверяем условие $t > 0$. Корень $t_1 = 8$ подходит. Корень $t_2 = -7$ не подходит, так как $8^x$ не может быть отрицательным.

Остается одно решение для $t$: $t=8$.

Делаем обратную замену:

$8^x = 8$. Поскольку $8 = 8^1$, получаем $8^x = 8^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

685.1) $3^x + 3^{3-x} - 12 = 0;$

2) $2^{x+2} - 2^{2-x} = 15.$

1) Решим показательное уравнение $3^x + 3^{3-x} - 12 = 0$.

Сначала преобразуем член $3^{3-x}$, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^{3-x} = \frac{3^3}{3^x} = \frac{27}{3^x}$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$3^x + \frac{27}{3^x} - 12 = 0$

Чтобы решить это уравнение, введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t + \frac{27}{t} - 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как мы установили, что $t \ne 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$t \cdot t + \frac{27}{t} \cdot t - 12 \cdot t = 0 \cdot t$

$t^2 + 27 - 12t = 0$

Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде:

$t^2 - 12t + 27 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно 27, а сумма равна 12. Этими числами являются 3 и 9.

Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$, поэтому оба являются действительными решениями для переменной $t$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

Для $t_1 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x_1 = 1$

Для $t_2 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x_2 = 2$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 2$.

2) Решим показательное уравнение $2^{x+2} - 2^{2-x} = 15$.

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ для преобразования членов уравнения:

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

$2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$4 \cdot 2^x - \frac{4}{2^x} = 15$

Введем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда