Номер 681, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

681. 1) $3 \cdot 9^x = 81;$

2) $2 \cdot 4^x = 64;$

3) $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1;$

4) $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2;$

5) $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5};$

6) $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}.$

1) Для решения уравнения $3 \cdot 9^x = 81$ необходимо привести все члены уравнения к одному основанию. Наиболее удобным основанием является 3.
Представим число $9$ как $3^2$ и число $81$ как $3^4$.
$3^1 \cdot (3^2)^x = 3^4$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$3^1 \cdot 3^{2x} = 3^4$
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{1+2x} = 3^4$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$1 + 2x = 4$
$2x = 4 - 1$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $1,5$.

2) Решим уравнение $2 \cdot 4^x = 64$. Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$4^x = \frac{64}{2}$
$4^x = 32$
Теперь приведем обе части к одному основанию. Общим основанием является 2, так как $4=2^2$ и $32=2^5$.
$(2^2)^x = 2^5$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{2x} = 2^5$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $2,5$.

3) В уравнении $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$ левая часть представляет собой произведение степеней с одинаковым основанием. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{(x+\frac{1}{2}) + (x-2)} = 1$
Сложим показатели:
$3^{2x - \frac{3}{2}} = 1$
Представим $1$ как степень с основанием 3. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
$3^{2x - \frac{3}{2}} = 3^0$
Приравниваем показатели:
$2x - \frac{3}{2} = 0$
$2x = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2} \div 2 = \frac{3}{4} = 0,75$
Ответ: $0,75$.

4) Решим уравнение $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2$.
В левой части сложим показатели степеней с основанием 0,5:
$0,5^{(x+7)+(1-2x)} = 2$
$0,5^{-x+8} = 2$
Теперь приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Подставим это в уравнение:
$(2^{-1})^{-x+8} = 2^1$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{-(-x+8)} = 2^1$
$2^{x-8} = 2^1$
Приравниваем показатели:
$x - 8 = 1$
$x = 9$
Ответ: $9$.

5) В уравнении $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5}$ все члены уже имеют одинаковое основание 0,6. Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней.
Для левой части (произведение степеней): $0,6^{x+3}$.
Для правой части (деление степеней, $a^m / a^n = a^{m-n}$): $0,6^{2x-5}$.
Получаем уравнение:
$0,6^{x+3} = 0,6^{2x-5}$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$x+3 = 2x-5$
Переносим члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$3+5 = 2x-x$
$x = 8$
Ответ: $8$.

6) Решим уравнение $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$.
Приведем все члены к основанию 6. Для этого представим $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$.
$6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^1 \cdot (6^{-1})^{2x}$
Упростим обе части уравнения с помощью свойств степеней.
Левая часть: $6^{3x-1}$.
Правая часть: $6^1 \cdot 6^{-2x} = 6^{1-2x}$.
Получаем уравнение:
$6^{3x-1} = 6^{1-2x}$
Приравниваем показатели:
$3x-1 = 1-2x$
$3x+2x = 1+1$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5} = 0,4$
Ответ: $0,4$.