Номер 683, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

683. 1) $5^x = 8^x$;

2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$;

3) $3^x = 5^{2x}$;

4) $4^x = 3^{\frac{x}{2}}$.

1) $5^x = 8^x$

Данное уравнение является показательным. Для его решения разделим обе части на $8^x$. Так как $8^x > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{5^x}{8^x} = \frac{8^x}{8^x}$

Используя свойство степени $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получим:

$(\frac{5}{8})^x = 1$

Уравнение вида $a^x = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) имеет единственное решение $x=0$, так как любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице.

В данном случае основание степени $\frac{5}{8} \neq 1$, следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$

Это показательное уравнение. Поступим аналогично предыдущему примеру. Разделим обе части уравнения на $(\frac{1}{3})^x$. Это выражение не равно нулю ни при каких значениях $x$.

$\frac{(\frac{1}{2})^x}{(\frac{1}{3})^x} = 1$

Применяя свойство степени $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:

$(\frac{1/2}{1/3})^x = 1$

Упростим основание степени:

$\frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$

Уравнение принимает вид:

$(\frac{3}{2})^x = 1$

Так как основание $\frac{3}{2} \neq 1$, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен нулю.

Следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

3) $3^x = 5^{2x}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^x = 25^x$

Это уравнение аналогично первым двум. Разделим обе части на $25^x$ ($25^x \neq 0$):

$\frac{3^x}{25^x} = 1$

$(\frac{3}{25})^x = 1$

Поскольку основание степени $\frac{3}{25} \neq 1$, показатель степени должен быть равен нулю.

Значит, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

4) $4^x = 3^{\frac{x}{2}}$

Для решения этого показательного уравнения приведем степени к одному показателю $x$. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{mn} = (a^m)^n$:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot x} = (3^{\frac{1}{2}})^x = (\sqrt{3})^x$

Уравнение принимает вид:

$4^x = (\sqrt{3})^x$

Разделим обе части на $(\sqrt{3})^x$, так как это выражение не равно нулю:

$\frac{4^x}{(\sqrt{3})^x} = 1$

$(\frac{4}{\sqrt{3}})^x = 1$

Так как основание $\frac{4}{\sqrt{3}} \neq 1$, равенство верно только при $x=0$.

Альтернативный способ: Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от дробного показателя.

$(4^x)^2 = (3^{\frac{x}{2}})^2$

$4^{2x} = 3^x$

$(4^2)^x = 3^x$

$16^x = 3^x$

Разделим обе части на $16^x$:

$1 = \frac{3^x}{16^x}$

$1 = (\frac{3}{16})^x$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: $x=0$.