Номер 692, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

692. 1) $(0,5)^{x^2 - 4x + 3} = (0,5)^{2x^2 + x + 3}$;

2) $(0,1)^{3 + 2x} = (0,1)^{2 - x^2}$;

3) $3^{\sqrt{x - 6}} = 3^x$;

4) $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{\sqrt{2 - x}}$

1) $(0,5)^{x^2 - 4x + 3} = (0,5)^{2x^2 + x + 3}$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (0,5), мы можем приравнять их показатели:
$x^2 - 4x + 3 = 2x^2 + x + 3$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 + x + 4x + 3 - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$
или
$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $-5; 0$.

2) $(0,1)^{3 + 2x} = (0,1)^{2 - x^2}$
Основания степеней равны (0,1), поэтому приравниваем показатели:
$3 + 2x = 2 - x^2$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$x^2 + 2x + 3 - 2 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Свернем левую часть уравнения по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 1)^2 = 0$
Из этого следует, что:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1$.

3) $3^{\sqrt{x-6}} = 3^x$
Так как основания степеней равны (3), приравниваем их показатели:
$\sqrt{x-6} = x$
Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 6 \ge 0$, что дает $x \ge 6$.
2. Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения $x$ также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x-6})^2 = x^2$
$x - 6 = x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - x + 6 = 0$
Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

4) $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{\sqrt{2-x}}$
Основания степеней равны ($\frac{1}{3}$), поэтому приравниваем показатели:
$x = \sqrt{2-x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
2. Левая часть уравнения $x$ равна значению арифметического корня, значит, она должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Совмещая условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{2-x})^2$
$x^2 = 2 - x$
Переносим все члены в одну сторону:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма равна -1. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Либо через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$
Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$):
- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$.
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Этот корень является посторонним, появившимся в результате возведения в квадрат.
Таким образом, решением является только $x=1$.
Ответ: $1$.